Решение интегралов - задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.

Изучаем понятие "интеграл"

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Именно эти фундаментальные сведения о Вы найдете у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями:

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?

С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа "Интеграл"

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

• Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

• Константу можно выносить из-под знака интеграла:

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

• Линейность:

• Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

• При любых точках a , b и с :

Мы уже выяснили, что определенный интеграл - это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем Вам самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Спросите , и они расскажут вам о вычислении интегралов все, что знают сами. С нашей помощью любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Цель:

• Формирование понятия первообразной.
• Подготовка к восприятию интеграла.
• Формирование вычислительных навыков.
• Воспитание чувства прекрасного (умение видеть красоту в необычном).

Математический анализ - совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений.

Если до настоящего времени мы изучали раздел математического анализа, называемого диффренциальным исчислением, суть которого заключается в изучении функции в “малом”.

Т.е. исследование функции в достаточно малых окрестностях каждой точки определения. Одна из операций дифференцирования- нахождение производной (дифференциала) и применении к исследованию функций.

Не менее важной является обратная задача. Если известно поведение функции в окрестностях каждой точки ее определения, то как восстановить функцию в целом, т.е. во всей области ее определения. Эта задача составляет предмет изучения так называемого интегрального исчисления.

Интегрированием называется действие обратное дифференцированию. Или восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово “integro” означает – восстановление.

Пример №1 .

Пусть (х)`=3х 2 .
Найдем f(х).

Решение:

Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно догадаться, что f(х)=х 3 , ибо (х 3)`=3х 2
Однако, легко можно заметить, что f(х) находится неоднозначно.
В качестве f(х) можно взять
f(х)= х 3 +1
f(х)= х 3 +2
f(х)= х 3 -3 и др.

Т.к.производная каждой из них равно 3х 2 . (Производная постоянной равна 0). Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х 3 +С, где С - любое постоянное действительное число.

Любую из найденных функций f(х) называют ПЕРВООБРАЗНОЙ для функции F`(х)= 3х 2

Определение. Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х 3 первообразная для f(х)=3х 2 на (- ∞ ; ∞).
Так как, для всех х ~R справедливо равенство: F`(х)=(х 3)`=3х 2

Как мы уже заметили, данная функция имеет бесконечное множество первообразных (смотри пример № 1).

Пример № 2. Функция F(х)=х есть первообразная для всех f(х)= 1/х на промежутке (0; +), т.к. для всех х из этого промежутка, выполняется равенство.
F`(х)= (х 1/2)`=1/2х -1/2 =1/2х

Пример № 3. Функция F(х)=tg3х есть первообразная для f(х)=3/cos3х на промежутке (-п/2; п/2),
т.к. F`(х)=(tg3х)`= 3/cos 2 3х

Пример № 4. Функция F(х)=3sin4х+1/х-2 первообразная для f(х)=12cos4х-1/х 2 на промежутке (0;∞)
т.к. F`(х)=(3sin4х)+1/х-2)`= 4cos4х-1/х 2

Лекция 2.

Тема: Первообразная. Основное свойство первообразной функции.

При изучении первообразной будем опираться на следующее утверждение. Признак постоянства функции: Если на промежутке J производная Ψ(х) функции равна 0, то на этом промежутке функция Ψ(х) постоянна.

Это утверждение можно продемонстрировать геометрически.

Известно, что Ψ`(х)=tgα, γде α-угол наклона касательной к графику функции Ψ(х) в точке с абсциссой х 0 . Если Ψ`(υ)=0 в любой точке промежутка J, то tgα=0 δля любой касательной к графику функции Ψ(х). Это означает, что касательная к графику функции в любой его точке параллельна оси абсцисс. Поэтому на указанном промежутке график функции Ψ(х) совпадает с отрезком прямой у=С.

Итак, функция f(х)=с постоянна на промежутке J, если f`(х)=0 на этом промежутке.

Действительно, для произвольного х 1 и х 2 из промежутка J по теореме о среднем значении функции можно записать:
f(х 2)- f(х 1)=f`(с) (х 2 - х 1), т.к. f`(с)=0, то f(х 2)= f(х 1)

Теорема: (Основное свойство первообразной функции)

Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.

Доказательство:

Пусть F`(х) = f (х), тогда (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f (х), для х Є J.
Допустим существует Φ(х)- другая первообразная для f (х) на промежутке J, т.е. Φ`(х) = f (х),
тогда (Φ(х)- F(х))` = f (х) – f (х) = 0, для х Є J.
Это означает, что Φ(х)- F(х) постоянна на промежутке J.
Следовательно, Φ(х)- F(х) = С.
Откуда Φ(х)= F(х)+С.
Это значит, что если F(х) - первообразная для функции f (х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.
Следовательно, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Пример: Найти множество первообразных функции f (х) = cos х. Изобразить графики первых трех.

Решение: Sin х - одна из первообразных для функции f (х) = cos х
F(х) = Sin х+С –множество всех первообразных.

F 1 (х) = Sin х-1
F 2 (х) = Sin х
F 3 (х) = Sin х+1

Геометрическая иллюстрация: График любой первообразной F(х)+С можно получить из графика первообразной F(х) при помощи параллельного переноса r (0;с).

Пример: Для функции f (х) = 2х найти первообразную, график которой проходит через т.М (1;4)

Решение: F(х)=х 2 +С – множество всех первообразных, F(1)=4 - по условию задачи.
Следовательно, 4 = 1 2 +С
С = 3
F(х) = х 2 +3

Определение первообразной.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x) , что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C , для произвольной константы С , причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Выражение называют подынтегральным выражением , а f(x) – подынтегральной функцией . Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x) .

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x) , а множество ее первообразных F(x)+C .

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.

Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:

Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.

Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:

• первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;
• второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найти первообразную функции , значение которой равно единице при х = 1 .

Решение.

Мы знаем из дифференциального исчисления, что (достаточно заглянуть в таблицу производных основных элементарных функций). Таким образом, . По второму свойству . То есть, имеем множество первообразных . При х = 1 получим значение . По условию, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1 . Искомая первообразная примет вид .

Пример.

Найти неопределенный интеграл и результат проверить дифференцированием.

Решение.

По формуле синуса двойного угла из тригонометрии , поэтому

Первообразная функция и неопределённый интеграл

Факт 1. Интегрирование - действие, обратное дифференцированию, а именно, восстановление функции по известной производной этой функции. Восстановленная таким образом функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ).

Определение 1. Функция F (x f (x ) на некотором промежутке X , если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство F "(x )=f (x ), то есть данная функция f (x ) является производной от первообразной функции F (x ). .

Например, функция F (x ) = sin x является первообразной для функции f (x ) = cos x на всей числовой прямой, так как при любом значении икса (sin x )" = (cos x ) .

Определение 2. Неопределённым интегралом функции f (x ) называется совокупность всех её первообразных . При этом употребляется запись

∫

f (x )dx

,

где знак ∫ называется знаком интеграла, функция f (x ) – подынтегральной функцией, а f (x )dx – подынтегральным выражением.

Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная для f (x ) , то

∫

f (x )dx = F (x ) +C

где C - произвольная постоянная (константа).

Для понимания смысла множества первообразных функции как неопределённого интеграла уместна следующая аналогия. Пусть есть дверь (традиционная деревянная дверь). Её функция - "быть дверью". А из чего сделана дверь? Из дерева. Значит, множеством первообразных подынтегральной функции "быть дверью", то есть её неопределённым интегралом, является функция "быть деревом + С", где С - константа, которая в данном контексте может обозначать, например, породу дерева. Подобно тому, как дверь сделана из дерева при помощи некоторых инструментов, производная функции "сделана" из первообразной функции при помощи формулы, которую мы узнали, изучая производную .

Тогда таблица функций распространённых предметов и соответствующих им первообразных ("быть дверью" - "быть деревом", "быть ложкой" - "быть металлом" и др.) аналогична таблице основных неопределённых интегралов, которая будет приведена чуть ниже. В таблице неопределённых интегралов перечисляются распространённые функции с указанием первообразных, из которых "сделаны" эти функции. В части задач на нахождение неопределённого интеграла даны такие подынтегральные функции, которые без особых услилий могут быть проинтегрированы непосредственно, то есть по таблице неопределённых интегралов. В задачах посложнее подынтегральную функцию нужно предварительно преобразовать так, чтобы можно было использовать табличные интегралы.

Факт 2. Восстанавливая функцию как первообразную, мы должны учитывать произвольную постоянную (константу) C , а чтобы не писать список первообразной с различными константами от 1 до бесконечности, нужно записывать множество первообразных с произвольной константой C , например, так: 5x ³+С . Итак, произвольная постоянная (константа) входит в выражение первообразной, поскольку первообразная может быть функцией, например, 5x ³+4 или 5x ³+3 и при дифференцировании 4 или 3, или любая другая константа обращаются в нуль.

Поставим задачу интегрирования: для данной функции f (x ) найти такую функцию F (x ), производная которой равна f (x ).

Пример 1. Найти множество первообразных функции

Решение. Для данной функции первообразной является функция

Функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ), если производная F (x ) равна f (x ), или, что одно и то же, дифференциал F (x ) равен f (x ) dx , т.е.

(2)

Следовательно, функция - первообразная для функции . Однако она не является единственной первообразной для . Ими служат также функции

где С – произвольная постоянная. В этом можно убедиться дифференцированием.

Таким образом, если для функции существует одна первообразная, то для неё существует бесконечное множество первообразных, отличающихся на постоянное слагаемое. Все первообразные для функции записываются в приведённом выше виде. Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема (формальное изложение факта 2). Если F (x ) – первообразная для функции f (x ) на некотором промежутке Х , то любая другая первообразная для f (x ) на том же промежутке может быть представлена в виде F (x ) + C , где С – произвольная постоянная.

В следующем примере уже обращаемся к таблице интегралов, которая будет дана в параграфе 3, после свойств неопределённого интеграла. Делаем это до ознакомления со всей таблицей, чтобы была понятна суть вышеизложенного. А после таблицы и свойств будем пользоваться ими при интегрировании во всей полносте.

Пример 2. Найти множества первообразных функций:

Решение. Находим множества первообразных функций, из которых "сделаны" данные функции. При упоминании формул из таблицы интегралов пока просто примите, что там есть такие формулы, а полностью саму таблицу неопределённых интегралов мы изучим чуть дальше.

1) Применяя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 3, получим

2) Используя формулу (10) из таблицы интегралов при n = 1/3, имеем

3) Так как

то по формуле (7) при n = -1/4 найдём

Под знаком интеграла пишут не саму функцию f , а её произведение на дифференциал dx . Это делается прежде всего для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная. Например,

, ;

здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна , но её неопределённые интегралы в рассмотренных случаях оказываются различными. В первом случае эта функция рассматривается как функция от переменной x , а во втором - как функция от z .

Процесс нахождения неопределённого интеграла функции называется интегрированием этой функции.

Геометрический смысл неопределённого интеграла

Пусть требуется найти кривую y=F(x) и мы уже знаем,что тангенс угла наклона касательной в каждой её точке есть заданная функция f(x) абсциссы этой точки.

Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в данной точке кривой y=F(x) равен значению производной F"(x) . Значит, нужно найти такую функцию F(x) , для которой F"(x)=f(x) . Требуемая в задаче функция F(x) является первообразной от f(x) . Условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а семейство кривых. y=F(x) - одна из таких кривых, а всякая другая кривая может быть получена из неё параллельным переносом вдоль оси Oy .

Назовём график первообразной функции от f(x) интегральной кривой. Если F"(x)=f(x) , то график функции y=F(x) есть интегральная кривая.

Факт 3. Неопределённый интеграл геометрически представлен семеством всех интегральных кривых , как на рисунке ниже. Удалённость каждой кривой от начала координат определяется произвольной постоянной (константой) интегрирования C .

Свойства неопределённого интеграла

Факт 4. Теорема 1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.

Факт 5. Теорема 2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции f (x ) равен функции f (x ) с точностью до постоянного слагаемого , т.е.

(3)

Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями.

Факт 6. Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла , т.е.

Существует три основных правила нахождения первообразных функций. Они очень похожи на соответствующие правила дифференцирования.

Правило 1

Если F есть первообразная дл некоторой функции f, а G есть первообразная для некоторой функции g, то F + G будет являться первообразной для f + g.

По определению первообразной F’ = f. G’ = g. А так как эти условия выполняются, то по правилу вычисления производной для суммы функций будем иметь:

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

Правило 2

Если F есть первообразная для некоторой функции f, а k - некоторая постоянная. Тогда k*F есть первообразная для функции k*f. Это правило следует из правила вычисления производной сложной функции.

Имеем: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Правило 3

Если F(x) есть некоторая первообразная для функции f(x), а k и b есть некоторые постоянные, причем k не равняется нулю, тогда (1/k)*F*(k*x+b) будет первообразной для функции f(k*x+b).

Данное правило следует из правила вычисления производной сложной функции:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Рассмотрим несколько примеров применения этих правил:

Пример 1 . Найти общий вид первообразных для функции f(x) = x^3 +1/x^2. Для функции x^3 одной из первообразных будет функция (x^4)/4, а для функции 1/x^2 одной из первообразных будет являться функция -1/x. Используя первое правило, имеем:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Пример 2 . Найдем общий вид первообразных для функции f(x) = 5*cos(x). Для функции cos(x) одна из первообразных будет являться функция sin(x). Если теперь воспользоваться вторым правилом, то будем иметь:

F(x) = 5*sin(x).

Пример 3. Найти одну из первообразных для функции y = sin(3*x-2). Для функции sin(x) одной из первообразных будет являться функция -cos(x). Если теперь воспользоваться третьим правилом, то получим выражение для первообразной:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Пример 4 . Найти первообразную для функции f(x) = 1/(7-3*x)^5

Первообразной для функции 1/x^5 будет являться функция (-1/(4*x^4)). Теперь воспользовавшись третьим правилом, получим.