Первообразная.

Первообразную легко понять на примере.

Возьмем функцию у = х 3 . Как мы знаем из предыдущих разделов, производной от х 3 является 3х 2:

(х 3)" = 3х 2 .

Следовательно, из функции у = х 3 мы получаем новую функцию: у = 3х 2 .
Образно говоря, функция у = х 3 произвела функцию у = 3х 2 и является ее «родителем». В математике нет слова «родитель», а есть родственное ему понятие: первообразная.

То есть: функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 .

Определение первообразной:

В нашем примере (х 3)" = 3х 2 , следовательно у = х 3 – первообразная для у = 3х 2 .

Интегрирование.

Как вы знаете, процесс нахождения производной по заданной функции называется дифференцированием. А обратная операция называется интегрированием.

Пример-пояснение :

у = 3х 2 + sin x .

Решение :

Мы знаем, что первообразной для 3х 2 является х 3 .

Первообразной для sin x является –cos x .

Складываем два первообразных и получаем первообразную для заданной функции:

у = х 3 + (–cos x ),

у = х 3 – cos x .

Ответ :
для функции у = 3х 2 + sin x у = х 3 – cos x .

Пример-пояснение :

Найдем первообразную для функции у = 2 sin x .

Решение :

Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x .

Следовательно, для функции у = 2 sin x первообразной является функция у = –2 cos x .
Коэффициент 2 в функции у = 2 sin x соответствует коэффициенту первообразной, от которой эта функция образовалась.

Пример-пояснение :

Найдем первообразную для функции y = sin 2x .

Решение :

Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x .

Применяем нашу формулу при нахождении первообразной для функции y = cos 2x :

1
y = - · (–cos 2x ),
2

cos 2x
y = – ----
2

cos 2x
Ответ : для функции y = sin 2x первообразной является функция y = – ----
2

(4)

Пример-пояснение .

Возьмем функцию из предыдущего примера: y = sin 2x .

Для этой функции все первообразные имеют вид:

cos 2x
y = – ---- + C .
2

Пояснение .

Возьмем первую строчку. Читается она так: если функция y = f(x )равна 0, то первообразной для для нее является 1. Почему? Потому что производная единицы равна нулю: 1" = 0.

В таком же порядке читаются и остальные строчки.

Как выписывать данные из таблицы? Возьмем восьмую строчку:

(-cos x )" = sin x

Пишем вторую часть со знаком производной, затем знак равенства и производную.

Читаем: первообразной для функции sin x является функция -cos x .

Или: функция -cos x является первообразной для функции sin x .

Первообразная

Определение первообразной функции

• Функцию у= F (x) называют первообразной для функции у=f (x) на заданном промежутке Х, если для всех х ∈ Х выполняется равенство: F′(x) = f (x)

Можно прочесть двумя способами:

1. f производная функции F
2. F первообразная для функции f

Свойство первообразных

• Если F(x) - первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С , где С - произвольная постоянная.

Геометрическая интерпретация

• Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу .

Правила вычисления первообразных

1. Первообразная суммы равна сумме первообразных . Если F(x) - первообразная для f(x) , а G(x) - первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) - первообразная для f(x) + g(x) .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной . Если F(x) - первообразная для f(x) , и k - постоянная, то k·F(x) - первообразная для k·f(x) .
3. Если F(x) - первообразная для f(x) , и k, b - постоянные, причём k ≠ 0 , то 1/k · F(kx + b) - первообразная для f(kx + b) .

Запомни!

Любая функция F(x) = х 2 + С , где С - произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х .

• Например:

  F"(x) = (х 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 –3)" = 2x = f(x);

Связь между графиками функции и ее первообразной:

1. Если график функции f(x)>0 F(x) возрастает на этом промежутке.
2. Если график функции f(x)<0 на промежутке, то график ее первообразной F(x) убывает на этом промежутке.
3. Если f(x)=0 , то график ее первообразной F(x) в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).

Для обозначения первообразной используют знак неопределённого интеграла, то есть интеграла без указания пределов интегрирования.

Неопределенный интеграл

Определение :

• Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С, то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x). Обозначается неопределённый интеграл так: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x) - называют подынтегральной функцией;
• f(x) dx - называют подынтегральным выражением;
• x - называют переменной интегрирования;
• F(x) - одна из первообразных функции f(x);
• С - произвольная постоянная.

Свойства неопределённого интеграла

1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx .
3. Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx .
4. Если k, b - постоянные, причём k ≠ 0, то \int f(kx + b) dx = \frac{1}{k} \cdot F(kx + b) + C .

Таблица первообразных и неопределенных интегралов

Функция f(x)	Первообразная F(x) + C	Неопределенные интегралы \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C	\int x{^m}dx = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C
f(x) = \frac{1}{x}	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac{dx}{x} = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e{^x }dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac{a^x}{l na} + C	\int a{^x }dx = \frac{a^x}{l na} + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac{1}{\sin {^2} x}	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac {dx}{\sin {^2} x} = -\ctg x + C
f(x) = \frac{1}{\cos {^2} x}	F(x) = \tg x + C	\int \frac{dx}{\sin {^2} x} = \tg x + C
f(x) = \sqrt{x}	F(x) =\frac{2x \sqrt{x}}{3} + C
f(x) =\frac{1}{ \sqrt{x}}	F(x) =2\sqrt{x} + C
f(x) =\frac{1}{ \sqrt{1-x^2}}	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac{dx}{ \sqrt{1-x^2}}=\arcsin x + C
f(x) =\frac{1}{ \sqrt{1+x^2}}	F(x)=\arctg x + C	\int \frac{dx}{ \sqrt{1+x^2}}=\arctg x + C
f(x)=\frac{1}{ \sqrt{a^2-x^2}}	F(x)=\arcsin \frac {x}{a}+ C	\int \frac{dx}{ \sqrt{a^2-x^2}} =\arcsin \frac {x}{a}+ C
f(x)=\frac{1}{ \sqrt{a^2+x^2}}	F(x)=\arctg \frac {x}{a}+ C	\int \frac{dx}{ \sqrt{a^2+x^2}} = \frac {1}{a} \arctg \frac {x}{a}+ C
f(x) =\frac{1}{ 1+x^2}	F(x)=\arctg + C	\int \frac{dx}{ 1+x^2}=\arctg + C
f(x)=\frac{1}{ \sqrt{x^2-a^2}} (a \not= 0)	F(x)=\frac{1}{2a}l n \lvert \frac {x-a}{x+a} \rvert + C	\int \frac{dx}{ \sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{2a}l n \lvert \frac {x-a}{x+a} \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac{1}{\sin x}	F(x)= l n \lvert \tg \frac{x}{2} \rvert + C	\int \frac {dx}{\sin x} = l n \lvert \tg \frac{x}{2} \rvert + C
f(x)=\frac{1}{\cos x}	F(x)= l n \lvert \tg (\frac{x}{2} +\frac{\pi}{4}) \rvert + C	\int \frac {dx}{\cos x} = l n \lvert \tg (\frac{x}{2} +\frac{\pi}{4}) \rvert + C

Формула Ньютона–Лейбница

Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.

\int_{a}^{b} f(x) dx =F(x)|_{a}^{b} = F(b) - F(a)

где F(x) - первообразная для f(x)

То есть, интеграл функции f (x) на интервале равен разности первообразных в точках b и a .

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке функции f , осью Ox и прямыми x = a и x = b .

Площадь криволинейной трапеции находят по формуле Ньютона-Лейбница:

S= \int_{a}^{b} f(x) dx

Решение интегралов - задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.

Изучаем понятие "интеграл"

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Именно эти фундаментальные сведения о Вы найдете у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями:

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?

С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа "Интеграл"

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

• Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

• Константу можно выносить из-под знака интеграла:

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

• Линейность:

• Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

• При любых точках a , b и с :

Мы уже выяснили, что определенный интеграл - это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем Вам самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Спросите , и они расскажут вам о вычислении интегралов все, что знают сами. С нашей помощью любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Неопределенный интеграл

Основной задачей дифференциального исчисления было вычисление производной или дифференциала заданной функции. Интегральное исчисление, к изучению которого мы переходим, решает обратную задачу, а именно, отыскания самой функции по ее производной или дифференциалу. То есть, имея dF(х)= f(х)d (7.1) или F ′(х)= f(х) ,

где f(х) - известная функция, надо найти функцию F(х) .

Определение: Функция F(х) называется первообразной функции f(х) на отрезке , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство: F′(х) = f(х) или dF(х)= f(х)d .

Например , одной из первообразных функций для функции f(х)=3х 2 будет F(х)= х 3 , т.к. (х 3)′=3х 2 . Но первоообразной для функции f(х)=3х 2 будет также и функции и , т.к. .

Итак, данная функция f(х)=3х 2 имеет бесконечное множество первоообразных, каждая из которых отличается лишь на постоянное слагаемое. Покажем, что этот результат имеет место и в общем случае.

Теорема Две различные первообразные одной и той же функции, определенной в некотором промежутке, отличаются одна от другой на этом промежутке на постоянное слагаемое.

Доказательство

Пусть функция f(х) определена на промежутке (a¸b) и F 1 (х) и F 2 (х) - первообразные, т.е. F 1 ′(х)= f(х) и F 2 ′(х)= f(х) .

Тогда F 1 ′(х)=F 2 ′(х)Þ F 1 ′(х) - F 2 ′(х) = (F 1 ′(х) - F 2 (х))′= 0 . Þ F 1 (х) - F 2 (х)=С

Отсюда, F 2 (х) = F 1 (х)+С

где С - константа (здесь использовано следствие из теоремы Лагранжа).

Теорема, таким образом, доказана.

Геометрическая иллюстрация . Если у = F 1 (х) и у = F 2 (х) – первообразные одной и той же функции f(х) , то касательная к их графикам в точках с общей абсциссой х параллельны между собой (рис. 7.1).

В таком случае расстояние между этими кривыми вдоль оси Оу остается постоянным F 2 (х) - F 1 (х)=С , то есть эти кривые в некотором понимании "параллельны" одна другой.

Следствие .

Прибавляя к какой-то первообразной F(х) для данной функции f(х) , определенной на промежутке Х , все возможные постоянные С , мы получим все возможные первообразные для функции f(х) .

Итак, выражение F(х)+С , где , а F(х) – некоторая первообразная функции f(х) включает все возможные первообразные для f(х) .

Пример 1. Проверить, являются ли функции первообразными для функции

Решение:

Ответ : первообразными для функции будут функции и

Определение: Если функция F(х) является некоторой первообразной для функции f(х), то множество всех первообразных F(х)+ С называют неопределенным интегралом от f(х) и обозначают:

∫f(х)dх.

По определению:

f(х) - подынтегральная функция,

f(х)dх - подынтегральное выражение

Из этого следует, чтоо неопределенный интеграл является функцией общего вида, дифференциал которой равен подынтегральному выражению, а производная от которой по переменной х равна подынтегральной функции во всех точках .

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет собой семейство кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых параллельно самой себе вверх или вниз, то есть вдоль оси Оу (рис. 7.2).

Операция вычисления неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Отметим, что если производная от элементарной функции всегда является элементарной функцией, то первоообразная от элементарной функции может не представляться при помощи конечного числа элементарных функций.

Рассмотрим теперь свойства неопределенного интеграла .

Из определения 2 вытекает:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть, если F′(х) = f(х) , то

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

. (7.4)

Из определения дифференциала и свойства (7.3)

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, то есть (7.5)

Рассмотрим движение точки вдоль прямой. Пусть за время t от начала движения точка прошла путь s(t). Тогда мгновенная скорость v(t) равна производной функции s(t), то есть v(t) = s"(t).

В практике встречается обратная задача: по заданной скорости движения точки v(t) найти пройденный ею путь s(t) , то есть найти такую функцию s(t), производная которой равна v(t) . Функцию s(t), такую, что s"(t) = v(t) , называют первообразной функции v(t).

Например, если v(t) = аt , где а – заданное число, то функция
s(t) = (аt 2) / 2 v(t), так как
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка F"(x) = f(x).

Например, функция F(x) = sin x является первообразной функции f(x) = cos x, так как (sin x)" = cos x ; функция F(x) = х 4 /4 является первообразной функции f(x) = х 3 , так как (х 4 /4)" = х 3 .

Рассмотрим задачу.

Задача .

Доказать, что функции х 3 /3, х 3 /3 + 1, х 3 /3 – 4 являются первообразной одной и той же функции f(x) = х 2 .

Решение .

1) Обозначим F 1 (x) = х 3 /3, тогда F" 1 (x) = 3 ∙ (х 2 /3) = х 2 = f(x).

2) F 2 (x) = х 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (х 3 /3 + 1)" = (х 3 /3)" + (1)"= х 2 = f(x).

3) F 3 (x) = х 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (х 3 /3 – 4)" = х 2 = f(x).

Вообще любая функция х 3 /3 + С, где С – постоянная, является первообразной функции х 2 . Это следует из того, что производная постоянной равна нулю. Этот пример показывает, что для заданной функции ее первообразная определяется неоднозначно.

Пусть F 1 (x) и F 2 (x) – две первообразные одной и той же функции f(x).

Тогда F 1 "(x) = f(x) и F" 2 (x) = f(x).

Производная их разности g(х) = F 1 (x) – F 2 (x) равна нулю, так как g"(х) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) – f(x) = 0.

Если g"(х) = 0 на некотором промежутке, то касательная к графику функции у = g(х) в каждой точке этого промежутка параллельна оси Ох. Поэтому графиком функции у = g(х) является прямая, параллельная оси Ох, т.е. g(х) = С, где С – некоторая постоянная. Из равенств g(х) = С, g(х) = F 1 (x) – F 2 (x) следует, что F 1 (x) = F 2 (x) + С.

Итак, если функция F(x) является первообразной функции f(x) на некотором промежутке, то все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x) + С, где С – произвольная постоянная.

Рассмотрим графики всех первообразных заданной функции f(x). Если F(x) – одна из первообразных функции f(x), то любая первообразная этой функции получается прибавлением к F(x) некоторой постоянной: F(x) + С. Графики функций у = F(x) + С получаются из графика у = F(x) сдвигом вдоль оси Оу. Выбором С можно добиться того, чтобы график первообразной проходил через заданную точку.

Обратим внимание на правила нахождения первообразных.

Вспомним, что операцию нахождения производной для заданной функции называют дифференцированием . Обратную операцию нахождения первообразной для данной функции называют интегрированием (от латинского слова «восстанавливать» ).

Таблицу первообразных для некоторых функций можно составить, используя таблицу производных. Например, зная, что (cos x)" = -sin x, получаем (-cos x)" = sin x , откуда следует, что все первообразные функции sin x записываются в виде -cos x + С , где С – постоянная.

Рассмотрим некоторые значения первообразных.

1) Функция: х р, р ≠ -1 . Первообразная: (х р+1) / (р+1) + С.

2) Функция: 1/х, х > 0. Первообразная: ln x + С.

3) Функция: х р, р ≠ -1 . Первообразная: (х р+1) / (р+1) + С.

4) Функция: е х . Первообразная: е х + С.

5) Функция: sin x . Первообразная: -cos x + С.

6) Функция: (kx + b) p , р ≠ -1, k ≠ 0. Первообразная: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + С.

7) Функция: 1/(kx + b), k ≠ 0 . Первообразная: (1/k) ln (kx + b)+ С.

8) Функция: е kx + b , k ≠ 0 . Первообразная: (1/k) е kx + b + С.

9) Функция: sin (kx + b), k ≠ 0 . Первообразная: (-1/k) cos (kx + b) .

10) Функция: cos (kx + b), k ≠ 0. Первообразная: (1/k) sin (kx + b).

Правила интегрирования можно получить с помощью правил дифференцирования . Рассмотрим некоторые правила.

Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x) на некотором промежутке. Тогда:

1) функция F(x) ± G(x) является первообразной функции f(x) ± g(x);

2) функция аF(x) является первообразной функции аf(x).

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.