) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).
Формула умножения дробей:
Например:
Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.
Деление обыкновенной дроби на дробь.
Деление дробей с участием натурального числа.
Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:
Умножение смешанных дробей.
Правила умножения дробей (смешанных):
- преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
- перемножаем числители и знаменатели дробей;
- сокращаем дробь;
- если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.
Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.
Второй способ умножения дроби на натуральное число.
Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.
Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.
Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.
Многоэтажные дроби.
В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:
Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:
Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.
Обратите внимание, например:
При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:
Практические советы при умножении и делении дробей:
1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.
2. В заданиях с разными видами дробей - переходите к виду обыкновенных дробей.
3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.
4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.
5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.
Обыкновенные дробные числа впервые встречают школьников в 5 классе и сопровождают их на протяжении всей жизни, так как в быту зачастую требуется рассматривать или использовать какой-то объект не целиком, а отдельными кусками. Начало изучения этой темы - доли. Доли - это равные части , на которые разделен тот или иной предмет. Ведь не всегда получается выразить, допустим, длину или цену товара целым числом, следует принять во внимание части или доли какой-либо меры. Образованное от глагола «дробить» - разделять на части, и имея арабские корни, в VIII веке возникло само слово «дробь» в русском языке.
Дробные выражения продолжительное время считали самым сложным разделом математики. В XVII веке, при появлении первоучебников по математике, их называли «ломаные числа», что очень сложно отображалось в понимании людей.
Современному виду простых дробных остатков, части которых разделены именно горизонтальной чертой, впервые поспособствовал Фибоначчи - Леонардо Пизанский. Его труды датированы в 1202 году. Но цель этой статьи - просто и понятно объяснить читателю, как происходит умножение смешанных дробей с разными знаменателями.
Умножение дробей с разными знаменателями
Изначально стоит определить разновидности дробей
:
- правильные;
- неправильные;
- смешанные.
Далее нужно вспомнить, как происходит умножение дробных чисел с одинаковыми знаменателями. Само правило этого процесса несложно сформулировать самостоятельно: результатом умножения простых дробей с одинаковыми знаменателями является дробное выражение, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель - произведение знаменателей данных дробей. То есть, по сути, новый знаменатель есть квадрат одного из существующих изначально.
При умножении простых дробей с разными знаменателями для двух и более множителей правило не меняется:
a/ b * c/ d = a*c / b*d.
Единственное отличие в том, что образованное число под дробной чертой будет произведением разных чисел и, естественно, квадратом одного числового выражения его назвать невозможно.
Стоит рассмотреть умножение дробей с разными знаменателями на примерах:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
В примерах применяются способы сокращения дробных выражений. Можно сокращать только числа числителя с числами знаменателя, рядом стоящие множители над дробной чертой или под ней сокращать нельзя.
Наряду с простыми дробными числами, существует понятие смешанных дробей. Смешанное число состоит из целого числа и дробной части, то есть является суммой этих чисел:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Как происходит перемножение
Предлагается несколько примеров для рассмотрения.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
В примере используется умножение числа на обыкновенную дробную часть , записать правило для этого действия можно формулой:
a * b/ c = a*b / c.
По сути, такое произведение есть сумма одинаковых дробных остатков, а количество слагаемых указывает это натуральное число. Частный случай:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Существует еще один вариант решения умножения числа на дробный остаток. Стоит просто разделить знаменатель на это число:
d * e/ f = e/ f: d.
Этим приемом полезно пользоваться, когда знаменатель делится на натуральное число без остатка или, как говорится, нацело.
Перевести смешанные числа в неправильные дроби и получить произведение ранее описанным способом:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
В этом примере участвует способ представления смешанной дроби в неправильную, его также можно представить в виде общей формулы:
a b c = a * b + c / c, где знаменатель новой дроби образуется при умножении целой части со знаменателем и при сложении его с числителем исходного дробного остатка, а знаменатель остается прежним.
Этот процесс работает и в обратную сторону. Для выделения целой части и дробного остатка нужно поделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель «уголком».
Умножение неправильных дробей производят общепринятым способом. Когда запись идет под единой дробной чертой, по мере необходимости нужно сделать сокращение дробей, чтобы уменьшить таким методом числа и проще посчитать результат.
В интернете существует множество помощников, чтобы решать даже сложные математические задачи в различных вариациях программ. Достаточное количество таких сервисов предлагают свою помощь при счете умножения дробей с разными числами в знаменателях - так называемые онлайн-калькуляторы для расчета дробей. Они способны не только умножить, но и произвести все остальные простейшие арифметические операции с обыкновенными дробями и смешанными числами. Работать с ним несложно, на странице сайта заполняются соответствующие поля, выбирается знак математического действия и нажимается «вычислить». Программа считает автоматически.
Тема арифметических действий с дробными числами актуальна на всем протяжении обучения школьников среднего и старшего звена. В старших классах рассматривают уже не простейшие виды, а целые дробные выражения , но знания правил по преобразованию и расчетам, полученные ранее, применяются в первозданном виде. Хорошо усвоенные базовые знания дают полную уверенность в удачном решении наиболее сложных задач.
В заключение имеет смысл привести слова Льва Николаевича Толстого, который писал: «Человек есть дробь. Увеличить своего числителя - свои достоинства, - не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя - своё мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к своему совершенству».
С дробями можно выполнять все действия, в том числе и деление. Данная статья показывает деление обыкновенных дробей. Будут даны определения, рассмотрены примеры. Подробно остановимся на делении дробей на натуральные числа и наоборот. Будет рассмотрено деление обыкновенной дроби на смешанное число.
Деление обыкновенных дробей
Деления является обратным умножению. При делении неизвестный множитель находится при известном произведении и другого множителя, где и сохраняется его данный смысл с обыкновенными дробями.
Если необходимо произвести деление обыкновенной дроби a b на c d , тогда для определения такого числа нужно произвести умножение на делитель c d , это даст в итоге делимое a b . Получим число и запишем его a b · d c , где d c является обратным c d числу. Равенства можно записать при помощи свойств умножения, а именно: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b , где выражение a b · d c является частным от деления a b на c d .
Отсюда получим и сформулируем правило деления обыкновенных дробей:
Определение 1
Чтобы разделить обыкновенную дробь a b на c d , необходимо делимое умножить на число, обратное делителю.
Запишем правило в виде выражения: a b: c d = a b · d c
Правила деления сводятся к умножению. Чтобы придерживаться его, нужно хорошо разбираться в выполнении умножения обыкновенных дробей.
Перейдем к рассмотрению деления обыкновенных дробей.
Пример 1
Выполнить деление 9 7 на 5 3 . Результат записать в виде дроби.
Решение
Число 5 3 – это обратная дробь 3 5 . Необходимо использовать правило деления обыкновенных дробей. Это выражение запишем так: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35 .
Ответ: 9 7: 5 3 = 27 35 .
При сокращении дробей следует выделять целую часть, если числитель больше знаменателя.
Пример 2
Разделить 8 15: 24 65 . Ответ записать в виде дроби.
Решение
Для решения нужно перейти от деления к умножению. Запишем это в такой форме: 8 15: 24 65 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 3 · 5 · 2 · 2 · 2 · 3 = 13 3 · 3 = 13 9
Необходимо произвести сокращение, а это выполняется следующим образом: 8 · 65 15 · 24 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 3 · 5 · 2 · 2 · 2 · 3 = 13 3 · 3 = 13 9
Выделяем целую часть и получаем 13 9 = 1 4 9 .
Ответ: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Деление необыкновенной дроби на натуральное число
Используем правило деления дроби на натуральное число:чтобы разделить a b на натуральное число n , необходимо умножить только знаменатель на n . Отсюда получим выражение: a b: n = a b · n .
Правило деления является следствием правила умножения. Поэтому представление натурального числа в виде дроби даст равенство такого типа: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n .
Рассмотрим данное деление дроби на число.
Пример 3
Произвести деление дроби 16 45 на число 12 .
Решение
Применим правило деления дроби на число. Получим выражение вида 16 45: 12 = 16 45 · 12 .
Произведем сокращение дроби. Получим 16 45 · 12 = 2 · 2 · 2 · 2 (3 · 3 · 5) · (2 · 2 · 3) = 2 · 2 3 · 3 · 3 · 5 = 4 135 .
Ответ: 16 45: 12 = 4 135 .
Деление натурального числа на обыкновенную дробь
Правило деления аналогично правилу деления натурального числа на обыкновенную дробь: чтобы разделить натуральное число n на обыкновенную a b , необходимо произвести умножение числа n на обратное дроби a b .
Исходя из правила, имеем n: a b = n · b a , а благодаря правилу умножения натурального числа на обыкновенную дробь, получим наше выражение в виде n: a b = n · b a . Необходимо рассмотреть данное деление на примере.
Пример 4
Делить 25 на 15 28 .
Решение
Нам необходимо переходить от деления к умножению. Запишем в виде выражения 25: 15 28 = 25 · 28 15 = 25 · 28 15 . Сократим дробь и получим результат в виде дроби 46 2 3 .
Ответ: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Деление обыкновенной дроби на смешанное число
При делении обыкновенной дроби на смешанное числолегко можно свети к делению обыкновенных дробей. Нужно совершить перевод смешанного числа в неправильную дробь.
Пример 5
Разделить дробь 35 16 на 3 1 8 .
Решение
Так как 3 1 8 - смешанное число, представим его в виде неправильной дроби. Тогда получим 3 1 8 = 3 · 8 + 1 8 = 25 8 . Теперь произведем деление дробей. Получим 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 · 8 25 = 35 · 8 16 · 25 = 5 · 7 · 2 · 2 · 2 2 · 2 · 2 · 2 · (5 · 5) = 7 10
Ответ: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Деление смешанного числа производится таким же образом, как и обыкновенных.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Тип урока: ОНЗ (открытие новых знаний – по технологии деятельностного метода обучения).
Основные цели:
- Вывести приемы деления дроби на натуральное число;
- Сформировать способность к выполнению деления дроби на натуральное число;
- Повторить и закрепить деление дробей;
- Тренировать способность к сокращению дробей, анализу и решению задач.
Оборудование демонстрационный материал:
1. Задания для актуализации знаний:
Сравните выражения:
Эталон:
2. Пробное (индивидуальное) задание.
1. Выполните деление:
2. Выполните деление, не выполняя всю цепочку вычислений: .
Эталоны:
- При делении дроби на натуральное число можно умножить на это число знаменатель, а числитель оставить прежним.
- Если числитель делится на натуральное число, то при делении дроби на это число можно числитель разделить на число, а знаменатель оставить прежним.
Ход урока
I. Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности.
Цель этапа:
- Организовать актуализацию требований к ученику со стороны учебной деятельности («надо»);
- Организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок («могу»);
- Создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность («хочу»).
Организация учебного процесса на этапе I.
Здравствуйте! Я рада видеть вас всех на уроке математики. Надеюсь, это взаимно.
Ребята, какие новые знания вы приобрели на прошлом уроке? (Делить дроби).
Верно. Что вам помогает выполнять деление дробей? (Правило, свойства).
Где эти знания нам необходимы? (В примерах, уравнениях, задачах).
Молодцы! Вы хорошо справились с заданиями на прошлом уроке. Хотите и сегодня открыть сами новые знания? (Да).
Тогда – в путь! А девизом урока возьмём высказывание «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед!».
II. Актуализация знаний и фиксация индивидуального затруднения в пробном действии.
Цель этапа:
- Организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания. Зафиксировать эти способы вербально (в речи) и знаково (эталон) и обобщить их;
- Организовать актуализацию мыслительных операций и познавательных процессов, достаточных для построения нового знания;
- Мотивировать к пробному действию и его самостоятельному выполнению и обоснованию;
- Предъявить индивидуальное задание для пробного действия и проанализировать его с целью выявления нового учебного содержания;
- Организовать фиксацию образовательной цели и темы урока;
- Организовать выполнение пробного действия и фиксацию затруднения;
- Организовать анализ полученных ответов и зафиксировать индивидуальные затруднения в выполнении пробного действия или его обоснования.
Организация учебного процесса на этапе II.
Фронтально, с использованием планшетов (индивидуальных досок).
1. Сравните выражения:
(Эти выражения равны)
Что интересного вы заметили? (Числитель и знаменатель делимого, числитель и знаменатель делителя в каждом выражении увеличились в одно и то же число раз. Т.о., делимые и делители в выражениях представлены дробями, равными между собой).
Найдите значение выражения и запишите на планшете. (2)
Как записать это число в виде дроби?
Как вы выполнили действие деления? (Дети проговаривают правило, учитель вывешивает на доску буквенные обозначения)
2. Вычислите и запишите только результаты:
3. Сложите полученные результаты и запишите ответ. (2)
Как называется число, полученное в задании 3? (Натуральное)
Как вы думаете, сможете ли дробь разделить на натуральное число? (Да, постараемся)
Попробуйте это выполнить.
4. Индивидуальное (пробное) задание.
Выполните деление: (только пример а)
По какому правилу вы выполнили деление? (По правилу деления дроби на дробь)
А теперь разделите дробь на натуральное число более простым способом, не выполняя всю цепочку вычислений: (пример б). Даю вам на это 3 секунды.
У кого не получилось выполнить задание за 3 секунды?
У кого получилось? (Нет таких)
Почему? (Не знаем способа)
Что получили? (Затруднение)
А как вы думаете, чем мы будем заниматься на уроке? (Делить дроби на натуральные числа)
Верно, откройте тетради и запишите тему урока «Деление дроби на натуральное число».
Почему эта тема звучит как новая, ведь вы уже умеете делить дроби? (Нужен новый способ)
Верно. Сегодня установим приём, упрощающий деление дроби на натуральное число.
III. Выявление места и причины затруднения.
Цель этапа:
- Организовать восстановление выполненных операций и зафиксировать (вербальную и знаковую) место – шага, операции, где возникло затруднение;
- Организовать соотнесение действий учащихся с используемым способом (алгоритмом) и фиксирование во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний, умений или способностей, которых недостает для решения исходной задачи такого типа.
Организация учебного процесса на этапе III.
Какое задание вы должны были выполнить? (Разделить дробь на натуральное число, не проделывая всю цепочку вычислений)
Что вызвало у вас затруднение? (Не смогли решить за короткое время быстрым способом)
Какую цель мы ставим перед собой на уроке? (Найти быстрый способ деления дроби на натуральное число)
Что вам поможет? (Уже известное правило деления дробей)
IV. Построение проекта выхода из затруднения.
Цель этапа:
- Уточнение цели проекта;
- Выбор способа (уточнение);
- Определение средств (алгоритм);
- Построение плана достижения цели.
Организация учебного процесса на этапе IV.
Вернёмся к пробному заданию. Вы сказали, что делили по правилу деления дробей? (Да)
Для этого заменили натуральное число дробью? (Да)
Какой шаг (или шаги), на ваш взгляд, можно пропустить?
(На доске открыта цепочка решения:
Проанализируйте и сделайте вывод. (Шаг 1)
Если нет ответа, то подводим через вопросы:
Куда попал натуральный делитель? (В знаменатель)
Числитель изменился при этом? (Нет)
Так какой шаг можно «опустить»? (Шаг 1)
План действий:
- Умножить знаменатель дроби на натуральное число.
- Числитель не изменяем.
- Получаем новую дробь.
V. Реализация построенного проекта.
Цель этапа:
- Организовать коммуникативное взаимодействие с целью реализации построенного проекта, направленного на приобретение недостающих знаний;
- Организовать фиксацию построенного способа действия в речи и знаков (с помощью эталона);
- Организовать решение исходной задачи и зафиксировать преодоление затруднения;
- Организовать уточнение общего характера нового знания.
Организация учебного процесса на этапе V.
А теперь выполните пробный пример новым способом быстро.
Теперь вы смогли выполнить задание быстро? (Да)
Объясните, как вы это сделали? (Дети проговаривают)
Значит, мы получили новое знание: правило деления дроби на натуральное число.
Молодцы! Проговорите его в парах.
Затем один ученик проговаривает классу. Фиксируем правило-алгоритм словесно и в виде эталона на доске.
Введите теперь буквенные обозначения и запишите формулу для нашего правила.
Ученик записывает на доске, проговаривая правило: при делении дроби на натуральное число можно умножить на это число знаменатель, а числитель оставить прежним.
(Все пишут формулу в тетрадях).
А теперь ещё раз проанализируйте цепочку решения пробного задания, обратив особое внимание на ответ. Что сделали? (Числитель дроби 15 разделили (сократили) на число 3)
Что это за число? (Натуральное, делитель)
Так как еще можно разделить дробь на натуральное число? (Проверить: если числитель дроби делится на это натуральное число, то можно числитель разделить на это число, результат записать в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним)
Запишите этот способ в виде формулы. (Ученик записывает на доске проговаривая правило. Все записывают формулу в тетрадях.)
Вернёмся к первому способу. Можно им пользоваться в случае, если a:n? (Да, это общий способ)
А когда второй способ удобно применять? (Когда числитель дроби делится на натуральное число без остатка)
VI. Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи.
Цель этапа:
- Организовать усвоение детьми нового способа действий при решении типовых задач с их проговариванием во внешней речи (фронтально, в парах или группах).
Организация учебного процесса на этапе VI.
Вычисли новым способом:
- №363 (а; г) – выполняют у доски, проговаривая правило.
- №363 (д; е) – в парах с проверкой по образцу.
VII. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.
Цель этапа:
- Организовать самостоятельное выполнение учащимися задания на новый способ действия;
- Организовать самопроверку на основе сопоставления с эталоном;
- По результатам выполнения самостоятельной работы организовать рефлексию усвоения нового способа действия.
Организация учебного процесса на этапе VII.
Вычисли новым способом:
- №363 (б; в)
Учащиеся проверяют по эталону, отмечают правильность выполнения. Анализируются причины ошибок и ошибки исправляются.
Учитель спрашивает тех учащихся, кто допустил ошибки, в чём причина?
На этом этапе важно, чтобы каждый учащийся самостоятельно проверил свою работу.
VIII. Включение в систему знаний и повторение.
Цель этапа:
- Организовать выявление границ применения нового знания;
- Организовать повторение учебного содержания, необходимого для обеспечения содержательной непрерывности.
Организация учебного процесса на этапе VIII.
Организация учебного процесса на этапе IX.
1. Диалог:
Ребята, какое новое знание вы сегодня открыли? (Научились делить дробь на натуральное число простым способом)
Сформулируйте общий способ. (Говорят)
Каким способом, и в каких случаях можно пользоваться ещё? (Говорят)
В чём преимущество нового способа?
Достигли ли мы поставленной нами цели урока? (Да)
Какие знания вы использовали для достижения цели? (Говорят)
Всё ли у вас получилось?
В чём были затруднения?
2. Домашнее задание: п.3.2.4.; №365(л, н, о, п); №370.
3. Учитель: я рада, что сегодня все были активны, сумели найти выход из затруднения. А самое главное, не были соседями при открытии нового и его закреплении. Спасибо вам за урок, дети!
Дробь – это одна или более долей целого, за которое обычно принимается единица (1). Как и с натуральными числами, с дробями можно выполнять все основные арифметические действия (сложение, вычитание, деление, умножения), для этого нужно знать особенности работы с дробями и различать их виды. Существует несколько видов дробей: десятичные и обыкновенные, или простые. Своя специфика есть у каждого вида дробей, но, обстоятельно разобравшись один раз, как с ними обращаться, вы сможете решать любые примеры с дробями, поскольку будете знать основные принципы выполнения арифметических вычислений с дробями. Рассмотрим на примерах как разделить дробь на целое число, используя разные виды дробей.
Как разделить простую дробь на натуральное число?Обыкновенными или простыми называют дроби, записывающиеся в виде такого отношения чисел, при котором вверху дроби указывается делимое (числитель), а внизу – делитель (знаменатель) дроби. Как разделить такую дробь на целое число? Рассмотрим на примере! Допустим, нам нужно разделить 8/12 на 2.
Для этого мы должны выполнить ряд действий:
Таким образом, если перед нами стоит задача разделить дробь на целое число, схема решения будет выглядеть примерно так:
Подобным образом можно разделить любую обыкновенную (простую) дробь на целое число.
Как разделить десятичную дробь на целое число?
Десятичная дробь - это такая дробь, которая получается вследствие деления единицы на десять, тысячу и так далее частей. Арифметические действия с десятичными дробями выполняются довольно просто.
Рассмотрим на примере как разделить дробь на целое число. Допустим, нам нужно поделить десятичную дробь 0,925 на натуральное число 5.
Подводя итоги, остановимся на двух основных моментах, которые важны при выполнении операции деления десятичных дробей на целое число:- для разделения десятичной дроби на натуральное число применяют деление в столбик;
- запятая ставится в частном тогда, когда закончено деление целой части делимого.
