Что такое логарифм?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно - уравнения с логарифмами.

Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 - 20 минут вы:

1. Поймете, что такое логарифм .

2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.

3. Научитесь вычислять простые логарифмы.

Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень...

Чувствую, сомневаетесь вы... Ну ладно, засекайте время! Поехали!

Для начала решите в уме вот такое уравнение:

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (a b *a c = a b+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.

Определение в математике

Логарифмом называется выражение следующего вида: log a b=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) "b" по его основанию "a" считается степень "c", в которую необходимо возвести основание "a", чтобы в итоге получить значение "b". Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log 2 8. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.

Разновидности логарифмов

Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное - понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:

1. Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
2. Десятичный a, где основанием служит число 10.
3. Логарифм любого числа b по основанию a>1.

Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.

Правила и некоторые ограничения

В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:

• основание "a" всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь "1" и "0" в любой степени всегда равны своим значениям;
• если а > 0, то и а b >0, получается, что и "с" должно быть больше нуля.

Как решать логарифмы?

К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10 х = 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, 10 2 =100.

А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического. Получим log 10 100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.

Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:

Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел - это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (a c =b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!

Уравнения и неравенства

Получается, что при определенных условиях показатель степени - это и есть логарифм. Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 3 4 =81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log 3 81 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2 -5 = 1/32 запишем в виде логарифма, получим log 2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема "логарифмы". Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.

Дано выражение следующего вида: log 2 (x-1) > 3 - оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение "х" находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.

Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример - логарифм 2 x = √9) подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции. Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.

Основные теоремы о логарифмах

При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.

1. Основное тождество выглядит так: а logaB =B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
2. Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При этом обязательным условием является: d, s 1 и s 2 > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогда a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаем, что s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, что и требовалось доказать.
3. Логарифм частного выглядит так: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: log a q b n = n/q log a b.

Называется эта формула "свойством степени логарифма". Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.

Пусть log a b = t, получается a t =b. Если возвести обе части в степень m: a tn = b n ;

но так как a tn = (a q) nt/q = b n , следовательно log a q b n = (n*t)/t, тогда log a q b n = n/q log a b. Теорема доказана.

Примеры задач и неравенств

Самые распространенные типы задач на тему логарифмов - примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.

К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.

При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.

Вот примеры ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства. Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.

Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями

Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.

1. Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ответ равен 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.

Задания из ЕГЭ

Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания). Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы "Натуральные логарифмы".

Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.

Дано log 2 (2x-1) = 4. Решение:
перепишем выражение, немного его упростив log 2 (2x-1) = 2 2 , по определению логарифма получим, что 2x-1 = 2 4 , следовательно 2x = 17; x = 8,5.

• Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
• Все выражение, стоящие под знаком логарифма, указываются как положительные, поэтому при вынесении множителем показателя степени выражения, который стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, остающееся под логарифмом выражение должно быть положительно.

log a r b r =log a b или log a b = log a r b r

Значение логарифма не изменится, если основание логарифма и число под знаком логарифма возвести в одну и ту же степень.

Под знаком логарифма могут находиться только положительные числа, причем, основание логарифма не равно единице.

Примеры.

1) Сравнить log 3 9 и log 9 81.

log 3 9=2, так как 3 2 =9;

log 9 81=2, так как 9 2 =81.

Значит, log 3 9=log 9 81.

Заметим, что основание второго логарифма равно квадрату основания первого логарифма: 9=3 2 , а число под знаком второго логарифма равно квадрату числа под знаком первого логарифма: 81=9 2 . Получается, что и число и основание первого логарифма log 3 9 были возведены во вторую степень, и значение логарифма от этого не изменилось:

Далее, так как извлечение корня n -й степени из числа а есть возведение числа а в степень ( 1 / n ), то из log 9 81 можно получить log 3 9 извлечением квадратного корня из числа и из основания логарифма:

2) Проверить равенство: log 4 25=log 0,5 0,2.

Рассмотрим первый логарифм. Извлечем квадратный корень из основания 4 и из числа 25 ; получаем: log 4 25=log 2 5.

Рассмотрим второй логарифм. Основание логарифма: 0,5= 1 / 2 . Число под знаком этого логарифма: 0,2= 1 / 5 . Возведем каждое из этих чисел в минус первую степень:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Таким образом, log 0,5 0,2=log 2 5. Вывод: данное равенство верно.

Решить уравнение:

log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2). Приведем логарифмы слева к основанию 2 .

log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Извлекли квадратный корень из числа и из основания первого логарифма. Извлекли корень четвертой степени из числа и основания второго логарифма.

log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Преобразовали сумму логарифмов в логарифм произведения.

3x 2 =5x+2. Получили после потенцирования.

3x 2 -5x-2=0. Решаем квадратное уравнение по общей формуле для полного квадратного уравнения:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 действительных корня.

Проверка.

x=2.

log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);

log 2 2 2 +log 2 3=log 2 12;

log 2 (4∙3)=log 2 12;

log 2 12=log 2 12;

log a n b =(1/ n )∙ log a b

Логарифм числаb по основанию a n равен произведению дроби 1/ n на логарифм числа b по основанию a .

Найти: 1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , если известно, что log 2 3=b , log 5 2=c.

Решение.

Решить уравнения:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.

Решение.

Приведем данные логарифмы к основанию 2. Применим формулу: log a n b =(1/ n )∙ log a b

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;

log 2 x+0,5log 2 x+0,25log 2 x=5,25. Приводим подобные слагаемые:

(1+0,5+0,25)·log 2 x=5,25;

1,75·log 2 x=5,25 |:1,75

log 2 x=3. По определению логарифма:

2) 0,5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0,25.

Решение. Логарифм по основанию 16 приведем к основанию 4.

0,5log 4 (x-2)+0,5log 4 (x-3)=0,25 |:0,5

log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0,5. Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения.

log 4 ((x-2)(x-3))=0,5;

log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0,5;

log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. По определению логарифма:

x 2 -5x+4=0. По теореме Виета:

x 1 =1; x 2 =4. Первое значение х не подойдет, так как при х=1 логарифмы данного равенства не существуют, ведь под знаком логарифма могут находиться только положительные числа.

Проверим данное уравнение при х=4.

Проверка.

0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0,25

0,5log 4 2+log 16 1=0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Логарифм числа b по основанию а равен логарифму числа b по новому основанию с , деленному на логарифм старого основания а по новому основанию с .

Примеры:

1) log 2 3=lg3/lg2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Вычислить:

1) log 5 7 , если известно, что lg7 ≈0,8451; lg5 ≈0,6990.

c b / log c a .

log 5 7=lg7/lg5≈0,8451:0,6990≈1,2090.

Ответ: log 5 7 ≈1,209 0≈1,209 .

2) log 5 7 , если известно, что ln7 ≈1,9459; ln5 ≈1,6094.

Решение. Применяем формулу: log a b =log c b / log c a .

log 5 7=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.

Ответ: log 5 7 ≈1,209 1≈1,209 .

Найдите х:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Используем формулу: log c b / log c a =log a b. Получаем:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log 3 x=log 3 (4∙6∙8);

log 3 x=log 3 192;

x=192 .

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10 .

Используем формулу: log c b / log c a =log a b . Получаем:

log 7 x=lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lg11+lg13);

log 7 x=lg143-lg (11∙13);

log 7 x=lg143-lg143;

x=1.

Страница 1 из 1 1

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

В конце XV века в русских землях, объединившихся вокруг Москвы, начинает зарождаться концепция, согласно которой Русское государство является правопреемником Византийской империи. Спустя несколько десятилетий тезис «Москва — Третий Рим» станет символом государственной идеологии Российского государства.

Большую роль в формировании новой идеологии и в изменениях, которые происходили в это время внутри России, было суждено сыграть женщине, имя которой слышали практически все, кто хоть раз соприкасался с русской историей. София Палеолог, жена великого князя Ивана III , внесла свой вклад в развитие русского зодчества, медицины, культуры и многие другие сферы жизни.

Есть и другой взгляд на неё, согласно которому она была «русской Екатериной Медичи», чьи козни пустили развитие России по совершенно иному пути и внесли смуту в жизнь государства.

Правда, как обычно, находится где-то посередине. София Палеолог не выбирала Россию — Россия выбрала её, девушку из последней династии византийских императоров, в качестве супруги для великого князя московского.

Византийская сирота при папском дворе

Фома Палеолог, отец Софьи. Фото: Commons.wikimedia.org

Зоя Палеологиня, дочь деспота (это название должности) Мореи Фомы Палеолога , появилась на свет в трагическое время. В 1453 году Византийская империя, наследница Древнего Рима, после тысячи лет существования рухнула под ударами османов. Символом гибели империи стало падение Константинополя, в котором погиб император Константин XI , родной брат Фомы Палеолога и дядя Зои.

Морейский деспотат, провинция Византии, которой правил Фома Палеолог, продержалась до 1460 года. Эти годы Зоя прожила вместе с отцом и братьями в Мистре, столице Мореи, городе, расположенном рядом с Древней Спартой. После того как султан Мехмед II захватил и Морею, Фома Палеолог уехал на остров Корфу, а затем в Рим, где скончался.

Дети из царственной семьи погибшей империи жили при дворе папы римского. Незадолго до смерти Фома Палеолог, чтобы получить поддержку, перешёл в католицизм. Католиками стали и его дети. Зою после крещения по римскому обряду нарекли Софьей.

Виссарион Никейский. Фото: Commons.wikimedia.org

10-летняя девочка, взятая на попечение папским двором, не имела возможности что-либо решать самостоятельно. Её наставником был назначен кардинал Виссарион Никейский , один из авторов унии, которая должна была объединить католиков и православных под общей властью папы римского.

Судьбу Софьи собирались устроить путём замужества. В 1466 году её предложили в качестве невесты кипрскому королю Жаку II де Лузиньяну , но он отказался. В 1467 году её предложили в жёны князю Караччоло , знатному итальянскому богачу. Князь выразил согласие, после чего состоялось торжественное обручение.

Невеста на «иконе»

Но стать женой итальянца Софье было не суждено. В Риме стало известно, что овдовел великий князь московский Иван III. Русский князь был молод, на момент смерти первой супруги ему исполнилось всего 27 лет, и ожидалось, что вскоре он будет искать новую жену.

Кардинал Виссарион Никейский увидел в этом шанс продвинуть свою идею униатства на русские земли. С его подачи в 1469 году папа римский Павел II направил Ивану III письмо, в котором предложил в качестве невесты 14-летнюю Софью Палеолог. В письме о ней говорилось как о «православной христианке», без упоминания о переходе в католицизм.

Иван III не был лишён честолюбия, на чём впоследствии часто будет играть его жена. Узнав о том, что в невесты предложена племянница византийского императора, он ответил согласием.

Виктор Муйжель. «Посол Иван Фрязин вручает Ивану III портрет его невесты Софьи Палеолог». Фото: Commons.wikimedia.org

Переговоры, однако, только начались — необходимо было обговорить все детали. Русский посол, отправленный в Рим, вернулся с подарком, шокировавшим и жениха, и его окружение. В летописи этот факт был отражён словами «царевну на иконе написану принесе».

Дело в том, что в России к тому моменту светской живописи не существовало вовсе, и портрет Софьи, присланный Ивану III, в Москве восприняли как «икону».

Софья Палеолог. Реконструкция по черепу С. Никитина. Фото: Commons.wikimedia.org

Впрочем, разобравшись, что к чему, московский князь внешним обликом невесты остался доволен. В исторической литературе встречаются различные описания Софьи Палеолог — от красавицы до уродины. В 1990-х годах были проведены исследования останков жены Ивана III, в ходе которых был восстановлен и её внешний вид. Софья была невысокой женщиной (около 160 см), склонной к полноте, с волевыми чертами лица, которые можно назвать если не красивыми, то довольно миловидными. Как бы то ни было, Ивану III она понравилась.

Провал Виссариона Никейского

Формальности были улажены к весне 1472 года, когда в Рим прибыло новое русское посольство, на сей раз уже за самой невестой.

1 июня 1472 году в базилике святых апостолов Петра и Павла состоялось заочное обручение. Заместителем великого князя был русский посол Иван Фрязин . В качестве гостей присутствовали жена правителя Флоренции Лоренцо Великолепного Клариче Орсини и королева Боснии Катарина . Папа, кроме подарков, дал невесте приданое в 6 тыс. дукатов.

Софья Палеолог въезжает в Москву. Миниатюра Лицевого летописного свода. Фото: Commons.wikimedia.org

24 июня 1472 года большой обоз Софьи Палеолог вместе с русским послом выехал из Рима. Невесту сопровождала римская свита во главе с кардиналом Виссарионом Никейским.

Добираться до Москвы пришлось через Германию по Балтийскому морю, а затем через Прибалтику, Псков и Новгород. Такой сложный маршрут был вызван тем, что у России в этот период в очередной раз начались политические проблемы с Польшей.

Испокон веков византийцы славились своей хитростью и коварством. То, что эти качества Софья Палеолог унаследовала в полной мере, Виссарион Никейский узнал вскоре после того, как обоз невесты пересёк границу России. 17-летняя девушка объявила, что с этой поры более не будет исполнять католические обряды, а возвращается к вере предков, то есть к православию. Все амбициозные планы кардинала рухнули. Попытки католиков закрепиться в Москве и усилить своё влияние потерпели неудачу.

12 ноября 1472 года Софья въехала в Москву. Здесь тоже было много тех, кто относился к ней с настороженностью, видя в ней «римского агента». По некоторым сведениям, митрополит Филипп , недовольный невестой, отказался проводить церемонию венчания, из-за чего церемониал проводил коломенский протопоп Осия .

Но, как бы то ни было, Софья Палеолог стала женой Ивана III.

Фёдор Бронников. «Встреча царевны Софии Палеолог псковскими посадниками и боярами в устье Эмбаха на Чудском озере». Фото: Commons.wikimedia.org

Как Софья избавила Россию от ига

Их брак продлился 30 лет, она родила мужу 12 детей, из которых пятеро сыновей и четыре дочери дожили до взрослого возраста. Судя по историческим документам, великий князь был привязан к жене и детям, за что даже получал упрёки от высокопоставленных служителей церкви, считавших, что это идёт во вред государственным интересам.

Софья никогда не забывала о своём происхождении и вела себя так, как, по её мнению, полагалось себя вести племяннице императора. Под её влиянием приёмы у великого князя, особенно приёмы послов, были обставлены сложным и красочным церемониалом, подобным византийскому. Благодаря ей, византийский двуглавый орёл перекочевал и в русскую геральдику. Благодаря её влиянию, великий князь Иван III начал именовать себя «русским царём». При сыне и внуке Софьи Палеолог это именование русского владыки станет официальным.

Судя по поступкам и делам Софьи, она, лишившись родной Византии, всерьёз взялась за построение её в другой православной стране. В помощь ей было честолюбие мужа, на котором она успешно играла.

Когда ордынский хан Ахмат готовил нашествие на русские земли и в Москве обсуждали вопрос о размере дани, с помощью которой можно откупиться от несчастья, в дело вмешалась Софья. Заливаясь слезами, она стала упрекать мужа в том, что страна до сих пор вынужден платить дань и что с этим позорным положением пора кончать. Иван III не был человеком воинственным, но упрёки жены задели его за живое. Он принял решение собрать войско и выступить навстречу Ахмату.

При этом жену с детьми великий князь отправил сначала в Дмитров, а потом на Белоозеро, опасаясь военной неудачи.

Но неудачи не случилось — на реке Угре, где встретились войска Ахмата и Ивана III, сражения не произошло. После того, что известно под названием «стояние на Угре», Ахмат ретировался без боя, а зависимость от Орды завершилась окончательно.

Перестройка XV века

Софья внушала мужу, что государь такой великой державы, как он, не может жить в столице с деревянными храмами и палатами. Под влиянием жены Иван III начал перестройку Кремля. Для строительства Успенского собора из Италии был приглашён архитектор Аристотель Фиораванти . На стройке активно использовался белый камень, отчего и появилось сохранившееся в веках выражение «белокаменная Москва».

Приглашение иностранных специалистов в разных областях стало широко распространённым явлением при Софье Палеолог. Итальянцы и греки, занявшие при Иване III должности послов, начнут активно зазывать в Россию своих земляков: архитекторов, ювелиров, мастеров монетного дела и оружейников. Среди приезжих было большое количество профессиональных врачей.

Софья приехала в Москву с большим приданым, часть которого занимала библиотека, включавшая в себя греческие пергаменты, латинские хронографы, древневосточные манускрипты, среди которых были поэмы Гомера , сочинения Аристотеля и Платона и даже книги из Александрийской библиотеки.

Эти книги и составили основу легендарной пропавшей библиотеки Ивана Грозного, которую энтузиасты пытаются искать и по сей день. Скептики, однако, полагают, что такая библиотека в действительности не существовала.

Говоря о неприязненном и настороженном отношении к Софье русских, надо сказать, что их смущало её независимое поведение, активное вмешательство в государственные дела. Подобное поведение для предшественниц Софьи в качестве великих княгинь, да и просто для русских женщин было нехарактерным.

Сражение наследников

К моменту второго брака Ивана III у него уже был сын от первой супруги — Иван Молодой , который и был объявлен наследником престола. Но с рождением детей у Софьи начала нарастать напряжённость. Русская знать раскололась на две группировки, одна из которых поддерживала Ивана Молодого, а вторая — Софью.

Отношения между мачехой и пасынком не сложились, да так, что самому Ивану III приходилось увещевать сына вести себя прилично.

Иван Молодой был всего на три года младше Софьи и почтения к ней не испытывал, видимо, считая новый брак отца предательством по отношению к умершей матери.

В 1479 году Софья, рожавшая до этого только девочек, произвела на свет сына, наречённого Василием . Как истинная представительница византийского императорского рода, она была готова обеспечить сыну трон любой ценой.

К этому времени Иван Молодой уже упоминался в русских документах как соправитель отца. А в 1483 году наследник женился на дочери господаря Молдавии Стефана Великого Елене Волошанке .

Отношения Софьи и Елены сразу стали враждебными. Когда же в 1483 году Елена родила сына Дмитрия , перспективы Василия унаследовать трон отца стали совсем призрачными.

Женское соперничество при дворе Ивана III было ожесточённым. И Елена, и Софья горели желанием избавиться не только от конкурентки, но и от её потомства.

В 1484 году Иван III решил одарить невестку жемчужным приданым, оставшимся от первой жены. Но тут выяснилось, что Софья уже подарила его своей родственнице. Великий князь, разгневанный самоуправством жены, заставил её вернуть подаренное, а самой родственнице вместе с мужем из страха перед наказанием пришлось бежать из русских земель.

Смерть и погребение великой княгини Софьи Палеолог. Фото: Commons.wikimedia.org

Проигравший теряет всё

В 1490 году наследник престола Иван Молодой заболел «ломотой в ногах». Специально для его лечения из Венеции был вызван лекарь Леби Жидовин , но помочь он не смог, и 7 марта 1490 года наследник скончался. Лекарь по приказу Ивана III был казнён, а в Москве бродили слухи, что Иван Молодой погиб в результате отравления, которое является делом рук Софьи Палеолог.

Доказательств этому, правда, нет. После смерти Ивана Молодого новым наследником стал его сын, в русской историографии известный как Дмитрий Иванович Внук .

Официально наследником Дмитрий Внук провозглашён не был, и поэтому Софья Палеолог продолжала попытки добиться трона для Василия.

В 1497 году был раскрыт заговор сторонников Василия и Софьи. Разгневанный Иван III отправил его участников на плаху, но жену и сына не тронул. Однако они оказались в опале, фактически под домашним арестом. 4 февраля 1498 года Дмитрий Внук был официально провозглашён наследником престола.

Борьба, однако, завершена не была. Вскоре партии Софьи удалось добиться реванша — на сей раз в руки палачей отдали сторонников Дмитрия и Елены Волошанки. Развязка наступила 11 апреля 1502 года. Новые обвинения в заговоре в адрес Дмитрия Внука и его матери Ивана III счёл убедительными, отправив их под домашний арест. Спустя несколько дней соправителем отца и наследником престола был провозглашён Василий, а Дмитрий Внук с матерью были помещены в тюрьму.

Рождение империи

Софья Палеолог, фактически возведшая сына на русский престол, сама до этого момента не дожила. Она умерла 7 апреля 1503 года и была похоронена в массивном белокаменном саркофаге в усыпальнице Вознесенского собора в Кремле рядом с могилой Марии Борисовны , первой супруги Ивана III.

Великий князь, овдовевший вторично, пережил любимую Софью на два года, уйдя из жизни в октябре 1505 года. Елена Волошанка скончалась в тюрьме.

Василий III, взойдя на престол, первым делом ужесточил условия содержания для конкурента — Дмитрия Внука заковали в железные кандалы и поместили в маленькую камеру. В 1509 году 25-летний высокородный узник скончался.

В 1514 году в договоре с императором Священной Римской империи Максимилианом I Василий III впервые в истории Руси назван императором русов. Эту грамоту затем использует Пётр I как доказательство своих прав на коронацию в качестве императора.

Усилия Софьи Палеолог, гордой византийки, взявшейся за выстраивание новой империи взамен утраченной, не пропали даром.