Одной из первых тем, изучаемых в курсе алгебры, являются формулы сокращённого умножения. В 7 классе они применяются в самых простых ситуациях, где требуется распознать в выражении одну из формул и выполнить разложение многочлена на множители или, наоборот, быстро возвести сумму или разность в квадрат или куб. В дальнейшем ФСУ используют для быстрого решения неравенств и уравнений и даже для вычисления некоторых числовых выражений без калькулятора.

Как выглядит список формул

Существует 7 основных формул, позволяющих быстро осуществить перемножение многочленов в скобках.

Иногда в этот список также включается разложение для четвёртой степени, которое следует из представленных тождеств и имеет вид:

a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Все равенства имеют пару (сумма - разность), кроме разности квадратов. Для суммы квадратов формула не приводится .

Остальные равенства легко запоминаются :

Следует помнить, что ФСУ работают в любом случае и для любых величин a и b : это могут быть как произвольные числа, так и целые выражения.

В ситуации, если вдруг не получается вспомнить, какой знак стоит в формуле перед тем или иным слагаемым, можно раскрыть скобки и получить тот же результат, что и после использования формулы. Например, если проблема возникла при применении ФСУ куба разности, нужно записать исходное выражение и поочерёдно выполнить умножение :

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² — ab - ab + b²)(a - b) = a³ — a²b - a²b + ab² — a²b + ab² + ab² — b³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³.

В результате после приведения всех подобных членов был получен такой же многочлен, как и в таблице. Такие же манипуляции можно проводить и со всеми остальными ФСУ.

Применение ФСУ для решения уравнений

К примеру, нужно решить уравнение, содержащее многочлен 3 степени :

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

В школьной программе не рассматриваются универсальные приёмы для решения кубических уравнений, и подобные задания чаще всего решаются более простыми методами (например, разложением на множители). Если заметить, что левая часть тождества напоминает куб суммы, то уравнение можно записать в более простом виде:

(x + 1)³ = 0.

Корень такого уравнения вычисляется устно: x = -1 .

Аналогичным способом решаются неравенства. Для примера можно решить неравенство x³ — 6x² + 9x > 0 .

В первую очередь необходимо разложить выражение на множители. Вначале нужно вынести за скобку x . После этого следует обратить внимание, что выражение в скобках можно преобразовать в квадрат разности.

Затем необходимо найти точки, в которых выражение принимает нулевые значения, и отметить их на числовой прямой. В конкретном случае это будут 0 и 3. Затем методом интервалов определить, в каких промежутках x будет соответствовать условию неравенства.

ФСУ могут оказаться полезными при выполнении некоторых расчётов без помощи калькулятора :

703² — 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000 .

Кроме того, раскладывая выражения на множители, можно легко выполнять сокращение дробей и упрощение различных алгебраических выражений.

Примеры задач для 7−8 класса

В заключение разберём и решим два задания на применение формул сокращённого умножения по алгебре.

Задача 1. Упростить выражение:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Решение. В условии задания требуется упростить выражение, т. е. раскрыть скобки, выполнить действия умножения и возведения в степень, а также привести все подобные слагаемые. Условно разделим выражение на три части (по числу слагаемых) и поочерёдно раскроем скобки, применяя ФСУ там, где это возможно.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9 (квадрат суммы);
• (3m + 1)(3m - 1) = 9m² — 1 (разность квадратов);
• В последнем слагаемом необходимо выполнить перемножение: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m .

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

(m² + 6m + 9) + (9m² — 1) - (10m² + 6m) .

С учётом знаков раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² — 6m = 8.

Задача 2. Решить уравнение, содержащее неизвестное k в 5 степени:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ — 4k² — 4k = k³.

Решение. В этом случае необходимо воспользоваться ФСУ и методом группировки. Нужно перенести последнее и предпоследнее слагаемое в правую часть тождества.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Из правой и из левой части выносится общий множитель (k² + 4k +4) :

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4) .

Всё переносится в левую часть уравнения, чтобы в правой остался 0:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0 .

Снова необходимо вынести общий множитель:

(k³ — k)(k² + 4k + 4) = 0.

Из первого полученного сомножителя можно вынести k . По формуле краткого умножения второй множитель будет тождественно равен (k + 2)² :

k (k² — 1)(k + 2)² = 0.

Использование формулы разности квадратов:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Поскольку произведение равно 0, если хотя бы один из его множителей нулевой, найти все корни уравнения не составит труда:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

На основании наглядных примеров можно понять, как запомнить формулы, их отличия, а также решить несколько практических задач с применением ФСУ. Задачи простые, и при их выполнении не должно возникнуть никаких сложностей.

>>Математика: Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения

Имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на другой приводит к компактному, легко запоминающемуся результату. В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый раз один многочлен на другой, а пользоваться готовым результатом. Рассмотрим эти случаи.

1. Квадрат суммы и квадрат разности:

Пример 1. Раскрыть скобки в выражении:

а) (Зх + 2) 2 ;

б) (5а 2 - 4b 3) 2

а) Воспользуемся формулой (1), учтя, что в роли а выступает Зх, а в роли b - число 2.
Получим:

(Зх + 2) 2 = (Зх) 2 + 2 Зх 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.

б) Воспользуемся формулой (2) , учтя, что в роли а выступает5а 2 , а в ролиb выступает 4b 3 . Получим:

(5а 2 -4b 3) 2 = (5а 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 = 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6 .

При использовании формул квадрата суммы или квадрата разности учитывайте, что
(- a - b) 2 = (а + b) 2 ;
(b-a) 2 = (a-b) 2 .

Это следует из того, что (- а) 2 = а 2 .

Отметим, что на формулах (1) и (2) основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме.

Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1 и 9. В самом деле

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 = (70 - I) 2 = 70 2 - 2 70 1 + 1 2 = 4900 - 140 + 1 = 4761.

Иногда можно быстро возвести в квадрат и число, оканчивающееся цифрой 2 или цифрой 8. Например,

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5.
Проведем соответствующие рассуждения для 85 2 .

Имеем:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Замечаем, что для вычисления 85 2 достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать и в других случаях. Например, 35 2 = 1225 (3 4 = 12 и к полученному числу приписали справа 25);

65 2 = 4225; 1252 = 15625 (12 18 = 156 и к полученному числу приписали справа 25).

Раз уж мы с вами заговорили о различных любопытных обстоятельствах, связанных со скучными (на первый взгляд) формулами (1) и (2), то дополним этот разговор следующим геометрическим рассуждением. Пусть а и b - положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а + b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами, соответственно равными а и b (рис. 4).

Площадь квадрата со стороной а + b равна (а + b) 2 . Но этот квадрат мы разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его площадь равна а 2), квадрат со стороной b (его площадь равна b 2), два прямоугольника со сторонами а и b (площадь каждого такого прямоугольника равна ab). Значит, (а + b) 2 = а 2 + b 2 + 2аb, т. е. получили формулу (1).

Умножим двучлен а + b на двучлен а - b. Получим:
(а + b) (а - b) = а 2 - аb + bа - b 2 = а 2 - b 2 .
Итак

Любое равенство в математике употребляется как слева направо (т.е. левая часть равенства заменяется его правой частью), так и справа налево (т.е. правая часть равенства заменяется его левой частью). Если формулу C) использовать слева направо, то она позволяет заменить произведение (а + b) (а - b) готовым результатом а 2 - b 2 . Эту же формулу можно использовать справа налево, тогда она позволяет заменить разность квадратов а 2 - b 2 произведением (а + b) (а - b). Формуле (3) в математике дано специальное название - разность квадратов.

Замечание. Не путайте термины «разность квадратов» к и «квадрат разности». Разность квадратов - это а 2 - b 2 , значит, речь идет о формуле (3); квадрат разности - это (a- b) 2 , значит речь идет о формуле (2). На обычном языке формулу (3) читают «справа налево» так:

разность квадратов двух чисел (выражений) равна произведению суммы этих чисел (выражений) на их разность,

Пример 2. Выполнить умножение

(3x- 2y)(3x+ 2y)
Решение. Имеем:
(Зх - 2у) (Зх + 2у)= (Зx) 2 - (2у) 2 = 9x 2 - 4y 2 .

Пример 3. Представить двучлен 16x 4 - 9 в виде произведения двучленов.

Решение. Имеем: 16x 4 =(4x 2) 2 , 9 = З 2 , значит, заданный двучлен есть разность квадратов, т.е. к нему можно применить формулу (3), прочитанную справа налево. Тогда получим:

16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - З 2 = (4x 2 + 3)(4x 2 - 3)

Формула (3), как и формулы (1) и (2), используется для математических фокусов. Смотрите:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

Завершим разговор о формуле разности квадратов любопытным геометрическим рассуждением. Пусть а и b - положительные числа, причем а > b. Рассмотрим прямоугольник со сторонами а + b и а - b (рис. 5). Его площадь равна (а + b) (а - b). Отрежем прямоугольник со сторонами b и а - b и подклеим его к оставшейся части так, как показано на рисунке 6. Ясно, что полученная фигура имеет ту же площадь, т. е. (а + b) (а - b). Но эту фигуру можно
построить так: из квадрата со стороной а вырезать квадрат со стороной b (это хорошо видно на рис. 6). Значит, площадь новой фигуры равна а 2 - b 2 . Итак, (а + b) (а - b) = а 2 - b 2 , т. е. получили формулу (3).

3. Разность кубов и сумма кубов

Умножим двучлен а - b на трехчлен а 2 + ab + b 2 .
Получим:
(a - b) (а 2 + ab + b 2) = а а 2 + а ab + а b 2 - b а 2 - b аb -b b 2 = а 3 + а 2 b + аb 2 -а 2 b-аb 2 -b 3 = а 3 -b 3 .

Аналогично

(а + b) (а 2 - аb + b 2) = а 3 + b 3

(проверьте это сами). Итак,

Формулу (4) обычно называют разностью кубов , формулу(5) - суммой кубов. Попробуем перевести формулы (4) и (5) на обычный язык. Прежде чем это сделать, заметим, что выражение a 2 + ab + b 2 похоже на выражение а 2 + 2ab + b 2 , которое фигурировало в формуле (1) и давало (а + b) 2 ; выражение а 2 - ab + b 2 похоже на выражение а 2 - 2ab + b 2 , которое фигурировало в формуле (2) и давало (а - b) 2 .

Чтобы отличить (в языке) эти пары выражений друг от друга, каждое из выражений а 2 + 2ab + b 2 и а 2 - 2ab + b 2 называют полным квадратом (суммы или разности), а каждое из выражений а 2 + ab + b 2 и а 2 - ab + b 2 называют неполным квадратом (суммы или разности). Тогда получается следующий перевод формул (4) и (5) (прочитанных «справа налево») на обычный язык:

разность кубов двух чисел (выражений) равна произведению разности этих чисел (выражений) на неполный квадрат их суммы; сумма кубов двух чисел (выражений) равна произведению суммы этих чисел (выражений) на неполный квадрат их разности.

Замечание. Все полученные в этом параграфе формулы (1)-(5) используются как слева направо, так и справа налево, только в первом случае (слева направо) говорят, что (1)-(5) - формулы сокращенного умножения, а во втором случае (справа налево) говорят, что (1)-(5) - формулы разложения на множители.

Пример 4. Выполнить умножение (2х- 1)(4x 2 + 2х +1).

Решение. Так как первый множитель есть разность одночленов 2х и 1, а второй множитель - неполный квадрат их суммы, то можно воспользоваться формулой (4). Получим:

(2х - 1)(4x 2 + 2х + 1) = (2x) 3 - I 3 = 8x 3 - 1.

Пример 5. Представить двучлен 27а 6 + 8b 3 в виде произведения многочленов.

Решение. Имеем: 27а 6 = (За 2) 3 , 8b 3 =(2b) 3 . Значит, заданный двучлен есть сумма кубов, т. е. к нему можно применить формулу 95), прочитанную справа налево. Тогда получим:

27а 6 + 8b 3 = (За 2) 3 + (2b) 3 = (За 2 + 2Ь) ((За 2) 2 - За 2 2Ь + (2b) 2) = (За 2 + 2Ь) (9а 4 - 6а 2 Ь + 4b 2).

Помощь школьнику онлайн , Математика для 7 класса скачать , календарно-тематическое планирование

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Ключевые слова:

квадрат суммы, квадрат разности, куб суммы, куб разности, разность квадратов, сумма кубов, разность кубов

Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй величины. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

• Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.величины (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2
• Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов . (a+b)(a-b)=a 2 -b 2
• К уб суммы двух величин равен кубу первой величины плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.

  (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

• К уб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.

  (a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3

• Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов . (a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3 +b 3
• Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

  (a - b)(a 2 +ab+b 2)=a 3 - b 3

Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения формул сокращённого умножения. Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Формулы сокращённого умножения нужно знать наизусть:

Пример . Докажем формулу a 3 +b 3 = (a + b )(a 2 – ab + b 2).

Имеем: (a + b )(a 2 – ab + b 2) = a 3 – a 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 – b 3

Приводя подобные слагаемые, мы видим, что

(a + b )(a 2 – ab + b 2) = a 3 +b 3 , что и доказывает нужную формулу.

Аналогично доказывается, что (a - b )(a 2 + ab + b 2) = a 3 – b 3

Мало просто знать наизусть формулы сокращенного умножения. Надо еще научиться видеть в конкретном алгебраическом выражении эту формулу.

Например:

49m 2 – 42mn + 9n 2 = (7m – 3n) 2

Или другой пример, посложнее:

Тут 3x 2 можно представить как ( √ 3x) 2

Полезно еще и знать, как возводить двучлен в степень большую, чем 3. Формула, позволяющая выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени, впервые была предложена Ньютоном в 1664–1665 г. и получила название бинома Ньютона. Коэффициенты формулы называются биномиальными коэффициентами. Если n – положительное целое число, то коэффициенты обращаются в нуль при любом k > n, поэтому разложение содержит лишь конечное число членов. Во всех остальных случаях разложение представляет собой бесконечный (биномиальный) ряд. (Условия сходимости биномиального ряда впервые были установлены в начале 19 в. Н.Абелем.) Такие частные случаи, как

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 и (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 + b 3

были известны задолго до Ньютона. Если n – положительное целое число, то биномиальный коэффициент при a n-k b k в формуле бинома есть число комбинаций из n по k , обозначаемое C k n . При небольших значениях n коэффициенты можно найти из треугольника Паскаля :

в котором каждое из чисел за исключением единиц равно сумме двух соседних чисел, стоящих строкой выше. Для данного n соответствующая (n-я) строка треугольника Паскаля дает по порядку коэффициенты биномиального разложения n-й степени, в чем нетрудно убедиться при n = 2 и n = 3.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее - в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.

Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).

Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.

Квадрат суммы

Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с².

Квадрат разности

Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а - с)² = а² - 2ас + с².

Разность квадратов

Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² - с² = (a + с)·(a - с).

Куб суммы

Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³.

Сумма кубов

Согласно формуле, приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а³ + с³ = (а + с)·(а² - ас + с²).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон.

Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.

Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу "Сумма кубов", которая значительно упростит вычисления.

Куб разности

Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит следующим образом: (а - с)³ = а³ - 3а²с + 3ас² - с³.

Разность кубов

Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов - формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы. В виде математического выражения разность кубов выглядит следующим образом: а 3 - с 3 = (а - с)(а 2 + ас + с 2).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая останется после вычитания из объема синего куба объемной фигуры желтого цвета, которая также является кубом. Известна лишь величина стороны маленького и большого куба.

Если значения сторон небольшие, то вычисления довольно просты. А если длины сторон выражаются в значительных числах, то стоит применить формулу, озаглавленную "Разность кубов" (или "Куб разности"), которае значительно упростит вычисления.