Инструкция

Если необходимо рассчитать по теореме Пифагора, воспользуйтесь следующим алгоритмом:- Определите в треугольнике, какие стороны являются катетами, а – гипотенузой. Две стороны, образующие угол в девяносто градусов и есть катеты, оставшаяся третья – гипотенуза. (см )- Возведите во вторую степень каждый катет данного треугольника, то есть умножьте на себя. Пример 1. Пусть надо вычислить гипотенузу, если один катет в треугольнике – 12 см, а другой – 5 см. Во-первых, квадраты катетов равны: 12*12=144 см и 5*5 = 25 см.- Далее определите сумму квадратов катетов. Определенное число является гипотенузы , нужно избавиться от второй степени числа, чтобы найти длину этой стороны треугольника. Для этого извлеките из-под квадратного корня значение суммы квадратов катетов. Пример 1. 144+25=169. Корень квадратный из 169 будет 13. Следовательно, длина данной гипотенузы равна 13 см.

Другой способ вычисления длины гипотенузы заключается в терминологии синуса и углов в треугольнике. По определению: синус угла альфа - противолежащего катета к гипотенузе. То есть, глядя на рисунок, sin a = CВ / АВ. Отсюда, гипотенуза АВ = СВ / sin a.Пример 2. Пусть угол 30 градусам, а противолежащий ему катет - 4 см. Нужно найти гипотенузу. Решение: АВ = 4 см/ sin 30 = 4 см / 0,5 = 8 см. Ответ: длина гипотенузы равна 8 см.

Аналогичный способ нахождения гипотенузы из определения косинуса угла. Косинус угла - отношение прилежащего к нему катета и гипотенузы . То есть, cos а = АС/АВ, отсюда АВ = АС/cos а. Пример 3. В треугольнике АВС, АВ - гипотенуза, угол ВАС равен 60 градусам, катет АС - 2 см. Найти АВ.
Решение: АВ = АС/cos 60 = 2/0,5 = 4 см. Ответ: гипотенуза составляет 4 см в длине.

Полезный совет

При нахождении значения синуса или косинуса угла воспользуйтесь либо таблицей синусов и косинусов, либо таблицей Брадиса.

Совет 2: Как найти длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике

Гипотенузой называют самую длинную из сторон в прямоугольном треугольнике, поэтому не удивительно, что с греческого языка это слово переводится как «натянутая». Эта сторона всегда лежит напротив угла в 90°, а стороны, образующие этот угол называют катетами. Зная длины этих сторон и величины острых углов в разных комбинациях этих значений можно вычислить и длину гипотенузы.

Инструкция

Если известны длины обоих треугольника (А и В), то используйте длины гипотенузы (С) самый, пожалуй, известный на математический постулат - теорему Пифагора. Он гласит, что квадрат длины гипотенузы сумме квадратов длин катетов, из чего вытекает, что вам следует вычислить корень из суммы возведенных в квадрат длин двух сторон: С=√(А²+В²). Например, если длина одного катета 15 , а - 10 сантиметрам, то длина гипотенузы составит приблизительно 18,0277564 сантиметра, так как √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18,0277564.

Если известна длина только одного из катетов (А) в прямоугольном треугольнике, а также величина угла, лежащего напротив него (α), то длину гипотенузы (С) можно с помощью одной из тригонометрических функций - синуса. Для этого разделите длину известной стороны на синус известного угла: С=А/sin(α). Например, если длина одного из катетов равна 15 сантиметрам, а величина угла в противоположной ему вершине треугольника составляет 30°, то длина гипотенузы будет равна 30 сантиметрам, так как 15/sin(30°)=15/0,5=30.

Если в прямоугольном треугольнике известна величина одного из острых углов (α) и длина прилегающего к нему катета (В), то для вычисления длины гипотенузы (С) можно использовать другую тригонометрическую функцию - косинус. Вам следует разделить длину известного катета на косинус известного угла: С=В/ cos(α). Например, если длина этого катета равна 15 сантиметрам, а величина острого угла, к нему прилегающего, составляет 30°, то длина гипотенузы составит приблизительно 17,3205081 сантиметров, так как 15/cos(30°)=15/(0,5*√3)=30/√3≈17,3205081.

Длиной принято обозначать расстояние между двумя точками какого-либо отрезка. Это может быть прямая, ломаная или замкнутая линия. Вычислить длину можно довольно простым путем, если знать некоторые другие показатели отрезка.

Инструкция

Если вам нужно найти длину стороны квадрата, то это не составит , если вам известна его площадь S. В связи с тем, что все стороны квадрата имеют

Тем, кто интересуется историей теоремы Пифагора, которую изучают в школьной программе, будет также любопытен такой факт, как публикация в 1940 году книги с трехсот семьюдесятью доказательствами этой, казалось бы, простой теоремы. Но она интриговала умы многих математиков и философов разных эпох. В книге рекордов Гиннеса она зафиксирована, как теорема с самым максимальным числом доказательств.

История теоремы Пифагора

Связанная с именем Пифагора, теорема была известна задолго до рождения великого философа. Так, в Египте, при строительстве сооружений, учитывалось соотношение сторон прямоугольного треугольника пять тысячелетий назад. В вавилонских текстах упоминается о все том же соотношении сторон прямоугольного треугольника за 1200 лет до рождения Пифагора.

Возникает вопрос, почему тогда гласит история - возникновение теоремы Пифагора принадлежит ему? Ответ может быть только один - он доказал соотношение сторон в треугольнике. Он сделал то, что века назад не делали те, кто просто пользовался соотношением сторон и гипотенузы, установленным опытным путем.

Из жизни Пифагора

Будущий великий ученый, математик, философ родился на острове Самосе в 570 году до нашей эры. Исторические документы сохранили сведения об отце Пифагора, который был резчиком по драгоценным камням, а вот о матери сведений нет. О родившемся мальчике говорили, что это незаурядный ребенок, проявивший с детского возраста страсть к музыке и поэзии. К учителям юного Пифагора историки относят Гермодаманта и Ферекида Сиросского. Первый ввел мальчика в мир муз, а второй, будучи философом и основателем итальянской школы философии, направил взор юноши к логосу.

В 22 года от роду (548 г. до н. э.) Пифагор отправился в Навкратис для изучения языка и религии египтян. Далее его путь лежал в Мемфис, где благодаря жрецам, пройдя через их хитроумные испытания, он постиг египетскую геометрию, которая, возможно натолкнула пытливого юношу на доказательство теоремы Пифагора. История в дальнейшем припишет теореме именно это имя.

В плену царя Вавилона

По пути домой в Элладу, Пифагор попадает в плен царя Вавилона. Но нахождение в плену принесло пользу пытливому уму начинающего математика, ему было чему поучиться. Ведь в те годы математика в Вавилоне была более развитой чем в Египте. Двенадцать лет он провел за изучением математики, геометрии и магии. И, возможно, именно вавилонская геометрия причастна к доказательству соотношения сторон треугольника и истории открытия теоремы. У Пифагора было для этого достаточно полученных знаний и времени. Но, что это произошло в Вавилоне, документального подтверждения или опровержения тому нет.

В 530 г. до н.э. Пифагор бежит из плена на родину, где живет при дворе тирана Поликрата в статусе полураба. Такая жизнь Пифагора не устраивает, и он удаляется в пещеры Самоса, а затем отправляется на юг Италии, где в то время располагалась греческая колония Кротон.

Тайный монашеский орден

На базе этой колонии Пифагор организовал тайный монашеский орден, представлявший собой религиозный союз и научное общество одновременно. Это общество имело свой устав, в котором говорилось о соблюдении особого образа жизни.

Пифагор утверждал, чтобы понять Бога, человек должен познать такие науки как алгебра и геометрия, знать астрономию и понимать музыку. Исследовательская работа сводилась к познанию мистической стороны чисел и философии. Следует отметить, что проповедованные в то время Пифагором принципы, имеют смысл в подражании и в настоящее время.

Многие из открытий, которые делали ученики Пифагора, приписывались ему. Тем не менее, если говорить кратко, история создания теоремы Пифагора древними историками и биографами того времени, связывается непосредственно с именем этого философа, мыслителя и математика.

Учение Пифагора

Возможно, на мысль о связи теоремы с именем Пифагора натолкнуло историков высказывание великого грека, что в пресловутом треугольнике с его катетами и гипотенузой зашифрованы все явления нашей жизни. А этот треугольник является "ключом" к решению всех возникающих проблем. Великий философ говорил, что следует узреть треугольник, тогда можно считать, что задача на две трети решена.

О своем учении Пифагор рассказывал только своим ученикам устно, не делая никаких записей, держа его в тайне. К великому сожалению, учение величайшего философа не сохранилось до наших дней. Что-то из него просочилось, но нельзя сказать сколько истинного, а сколько ложного в том, что стало известно. Даже с историей теоремы Пифагора не все бесспорно. Историки математики сомневаются в авторстве Пифагора, по их мнению теоремой пользовались за много веков до его рождения.

Теорема Пифагора

Может показаться странным, но исторических фактов доказательства теоремы самим Пифагором нет — ни в архивах, ни в каких-либо других источниках. В современной версии считается, что оно принадлежит не кому иному, как самому Евклиду.

Есть доказательства одного из крупнейших историков математики Морица Кантора, обнаружившего на папирусе, хранящемся в Берлинском музее, записанное египтянами примерно в 2300 году до н. э. равенство, которое гласило: 3² + 4² = 5².

Кратко из истории теоремы Пифагора

Формулировка теоремы из евклидовых "Начал", в переводе звучит также как и в современной интерпретации. Нового в ее прочтении нет: квадрат стороны противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов сторон, прилегающих к прямому углу. О том, что теоремой пользовались древние цивилизации Индии и Китая подтверждает трактат "Чжоу — би суань цзинь". Он содержит сведения об египетском треугольнике, в котором описано соотношение сторон как 3:4:5.

Не менее интересна еще одна китайская математическая книга «Чу-пей», в которой также упоминается о пифагоровом треугольнике с пояснением и рисунками, совпадающими с чертежами индусской геометрии Басхары. О самом треугольнике в книге написано, что если прямой угол можно разложить на составные части, тогда линия, которая соединяет концы сторон, будет равна пяти, если основание равно трем, а высота равна четырем.

Индийский трактат "Сульва сутра", относящийся примерно к VII-V векам до н. э., рассказывает о построении прямого угла при помощи египетского треугольника.

Доказательство теоремы

В средние века ученики считали доказательство теоремы слишком трудным делом. Слабые ученики заучивали теоремы наизусть, без понимания смысла доказательства. В связи с этим они получили прозвище "ослы", потому что теорема Пифагора была для них непреодолимым препятствием, как для осла мост. В средние века ученики придумали шутливый стих на предмет этой теоремы.

Чтобы доказать теорему Пифагора самым легким путем, следует просто измерить его стороны, не используя в доказательстве понятие о площадях. Длина стороны, противолежащая прямому углу - это c, а прилежащие к нему a и b, в результате получаем уравнение: a 2 + b 2 = c 2 . Данное утверждение, как говорилось выше, проверяется путем измерения длин сторон прямоугольного треугольника.

Если начать доказательство теоремы с рассмотрения площади прямоугольников, построенных на сторонах треугольника, можно определить площадь всей фигуры. Она будет равна площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырех треугольников и внутреннего квадрата.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a 2 + 2ab + b 2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , что и требовалось доказать.

Практическое значение теоремы Пифагора заключается в том, что с ее помощью можно найти длины отрезков, не измеряя их. При строительстве сооружений рассчитываются расстояния, размещение опор и балок, определяются центры тяжести. Применяется теорема Пифагора и во всех современных технологиях. Не забыли о теореме и при создании кино в 3D-6D-измерениях, где кроме привычных нам 3-х величин: высоты, длины, ширины - учитываются время, запах и вкус. Как связаны с теоремой вкусы и запахи - спросите вы? Все очень просто - при показе фильма нужно рассчитать, куда и какие запахи и вкусы направлять в зрительном зале.

То ли еще будет. Безграничный простор для открытия и создания новых технологий ждет пытливые умы.

Теорема Пифагора

Своеобразна судьба иных теорем и задач... Как объяснить, например, столь исключительное внимание со стороны математиков и любителей математики к теореме Пифагора? Почему многие из них не довольствовались уже известными доказательствами, а находили свои, доведя за двадцать пять сравнительно обозримых столетий количество доказательств до нескольких сотен?
Когда речь идет о теореме Пифагора, необычное начинается уже с ее названия. Считается, что сформулировал ее впервые отнюдь не Пифагор. Сомнительным полагают и то, что он дал ее доказательство. Если Пифагор - реальное лицо (некоторые сомневаются даже в этом!), то жил он, скорее всего, в VI-V в. до н. э. Сам он ничего не писал, называл себя философом, что значило, в его понимании, «стремящийся к мудрости», основал пифагорейский союз, члены которого занимались музыкой, гимнастикой, математикой, физикой и астрономией. По-видимому, был он и великолепным оратором, о чем свидетельствует следующая легенда, относящаяся к пребыванию его в городе Кротоне: «Первое появление Пифагора пред народом в Кротоне началось речью к юношам, в которой он так строго, но вместе с тем и так увлекательно изложил обязанности юношей, что старейшие в городе просили не оставить и их без поучения. В этой второй речи он указывал на законность и на чистоту нравов, как на основы семейства; в следующих двух он обратился к детям и женщинам. Последствием последней речи, в которой он особенно порицал роскошь, было то, что в храм Геры доставлены были тысячи драгоценных платьев, ибо ни одна женщина не решалась более показываться в них на улице...» Тем не менее еще во втором столетии нашей эры, т. е. спустя 700 лет, жили и творили вполне реальные люди, незаурядные ученые, находившиеся явно под влиянием пифагорейского союза и относящиеся с большим уважением к тому, что согласно легенде создал Пифагор.
Несомненно также, что интерес к теореме вызывается и тем, что она занимает в математике одно из центральных мест, и удовлетворением авторов доказательств, преодолевших трудности, о которых хорошо сказал живший до нашей эры римский поэт Квинт Гораций Флакк: «Трудно хорошо выразить общеизвестные факты».
Первоначально теорема устанавливала соотношение между площадями квадратов, построенных на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника:
.
Алгебраическая формулировка:
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b: a 2 +b 2 =c 2 . Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.
Обратная теорема Пифагора. Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что
a 2 + b 2 = c 2 , существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Доказательства

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.
Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники

Следующее доказательство алгебраической формулировки - наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.
Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам.
Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения

получаем

Что эквивалентно

Сложив, получаем

или

Доказательства методом площадей

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

Доказательство через равнодополняемость

1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке.
2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол - 180°.
3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и внутреннего квадрата.



Что и требовалось доказать.

Доказательства через равносоставленность

Пример одного из таких доказательств указан на чертеже справа, где квадрат, построенный на гипотенузе, перестановкой преобразуется в два квадрата, построенных на катетах.

Доказательство Евклида

Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны. Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника - BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах. Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK. Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, - это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно - AB=AK,AD=AC - равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата - 90°). Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично. Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах.

Доказательство Леонардо да Винчи

Главные элементы доказательства - симметрия и движение.

Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению). Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и GDAB. Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади квадрата, построенного на гипотенузе, плюс площадь исходного треугольника. Последний шаг в доказательстве предоставляется читателю.

Геометрия – наука не простая. Она может пригодиться как для школьной программы, так и в реальной жизни. Знание многих формул и теорем упростит геометрические вычисления. Одна из наиболее простых фигур в геометрии – это треугольник. Один из разновидностей треугольников, равносторонний, имеет свои особенности.

Особенности равностороннего треугольника

Согласно определению, треугольник – это многогранник, который имеет три угла и три стороны. Это плоская двумерная фигура, ее свойства изучаются в средней школе. По типу угла различают остроугольные, тупоугольные и прямоугольные треугольники. Прямоугольный треугольник – такая геометрическая фигура, где один из углов равен 90º. Такой треугольник имеет два катета (они создают прямой угол), и одну гипотенузу (она находится напротив прямого угла). В зависимости от того, какие величины известны, существует три простых способа вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника.

Первый способ найти гипотенузу прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора

Теорема Пифагора – древнейший способ вычислить любую из сторон прямоугольного треугольника. Звучит она так: “В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Таким образом, чтобы вычислить гипотенузу, следует вывести квадратный корень из сумы двух катетов в квадрате. Для наглядности приведены формулы и схема.

Второй способ. Вычисление гипотенузы с помощью 2-х известных величин: катета и прилегающего угла

Одно из свойств прямоугольного треугольника гласит, что отношение длины катета к длине гипотенузы, равносильно косинусу угла между этиv катетом и гипотенузой. Назовем известный нам угол α. Теперь, благодаря известному определению, можно легко сформулировать формулу для вычисления гипотенузы: Гипотенуза = катет/cos(α)

Третий способ. Вычисление гипотенузы с помощью 2х известных величин: катета и противолежащего угла

Если известен противолежащий угол, возможно снова воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника. Отношение длины катета и гипотенузы равносильно синусу противолежащего угла. Снова назовем известный угол α. Теперь для вычислений применим немного другую формулу:
Гипотенуза = катет/sin (α)

Примеры, которые помогут разобраться с формулами

Для более глубокого понимания каждой из формул, следует рассмотреть наглядные примеры. Итак, предположим, дан прямоугольный треугольник, где есть такие данные:

• Катет – 8 см.
• Прилегающий угол cosα1 – 0.8.
• Противолежащий угол sinα2 – 0.8.

По теореме Пифагора: Гипотенуза = корень квадратный из (36+64) = 10 см.
По величине катета и прилежащего угла: 8/0.8 = 10 см.
По величине катета и противолежащего угла: 8/0.8 = 10 см.

Разобравшись в формуле, можно с легкостью вычислить гипотенузу с любыми данными.

Видео: Теорема Пифагора

Различные способы доказательства теоремы Пифагора

учащаяся 9 «А» класса

МОУ СОШ №8

Научный руководитель:

учитель математики,

МОУ СОШ №8

ст. Новорождественской

Краснодарского края.

Ст. Новорождественская

АННОТАЦИЯ.

Теорема Пифагора по праву считается самой важной в курсе геометрии и заслуживает при­стального внимания. Она являет­ся основой решения множества геометрических задач, базой для изучения теоретического и практического курса геометрии в дальнейшем. Теорема окружена богатей­шим историческим материалом, связанным с её появлением и способами доказательства. Изучение истории развития геометрии прививает любовь к данному предмету, способствует развитию познава­тельного интереса, общей культу­ры и творчества, а так же развивает навыки научно-исследовательской работы .

В результате поисковой деятельности была достигнута цель работы, заключающаяся в пополнении и обобщении знаний по доказательству теоремы Пифагора. Удалось найти и рассмотреть различные способы доказательства и углубить знания по теме, выйдя за страницы школьного учебника.

Собранный материал ещё больше убеждает в том, что теорема Пифагора является великой теоремой геометрии, имеет огромное теоретическое и практическое значение.

Введение. Историческая справка 5 Основная часть 8

3. Заключение 19

4. Используемая литература 20
1. ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА.

Суть истины вся в том, что нам она - навечно,

Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет,

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.

На радостях богам был Пифагором дан обет:

За то, что мудрости коснулся бесконечной,

Он сто быков заклал, благодаря предвечных;

Моленья и хвалы вознес он жертве вслед.

С тех пор быки, когда учуят, тужась,

Что к новой истине людей опять подводит след,

Ревут остервенело, так что слушать мочи нет,

Такой в них Пифагор вселил навеки ужас.

Быкам, бессильным новой правде противостоять,

Что остается? - Лишь глаза закрыв, реветь, дрожать.

Неизвестно, каким способом доказывал Пифагор свою теорему. Несомненно лишь то, что он открыл ее под силь­ным влиянием египетской науки. Частный случай теоре­мы Пифагора - свойства треугольника со сторонами 3, 4 и 5 - был известен строителям пирамид задолго до рожде­ния Пифагора, сам же он более 20 лет обучался у египет­ских жрецов. Сохранилась легенда, которая гласит, что, доказав свою знаменитую теорему, Пифагор принес богам в жертву быка, а по другим источникам, даже 100 быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и ре­лигиозных воззрениях Пифагора. В литературных источ­никах можно прочитать, что он «запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы». Пифагор питался только медом, хлебом, овощами и изредка рыбой. В связи со всем этим более правдоподобной можно считать следующую запись: «...и даже когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипо­тенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста».

Популярность теоремы Пифагора столь велика, что ее доказательства встречаются даже в художественной литературе , например, в рассказе известного английско­го писателя Хаксли «Юный Архимед». Такое же Доказа­тельство, но для частного случая равнобедренного пря­моугольного треугольника приводится в диалоге Плато­на «Менон».

Сказка «Дом».

«Далеко-далеко, куда не летают даже самолеты, находится страна Геометрия. В этой необычной стране был один удиви­тельный город - город Теорем. Однажды в этот город пришла красивая девочка по имени Гипотенуза. Она попробовала снять комнату, но куда бы она ни обращалась, ей всюду отказывали. Наконец она подошла к покосившемуся домику и постучала. Ей открыл мужчина, назвавший себя Прямым Углом, и он предло­жил Гипотенузе поселиться у него. Гипотенуза осталась в доме, в котором жили Прямой Угол и два его маленьких сына по имени Катеты. С тех пор жизнь в доме Прямого Угла пошла по-ново­му. На окошке гипотенуза посадила цветы, а в палисаднике развела красные розы. Дом принял форму прямоугольного тре­угольника. Обоим катетам Гипотенуза очень понравилась и они попросили ее остаться навсегда в их доме. Ло вечерам эта друж­ная семья собирается за семейным столом. Иногда Прямой Угол играет со своими детишками в прятки. Чаще всего искать при­ходится ему, а Гипотенуза прячется так искусно, что найти ее бывает очень трудно. Однажды во время игры Прямой Угол подметил интересное свойство: если ему удается найти катеты, то отыскать Гипотенузу не составляет труда. Так Прямой Угол пользуется этой закономерностью, надо сказать, очень успешно. На свойстве этого прямоугольного треугольника и основана тео­рема Пифагора.»

(Из книги А. Окунева «Спасибо за урок, дети»).

Шутливая формулировка теоремы:

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим –

И таким простым путем

К результату мы придем.

Изучая алгебру и начала анализа и геометрию в 10 классе , я убедилась в том, что кроме рассмотренного в 8 классе способа доказательства теоремы Пифагора существуют и другие способы доказательства. Представляю их на ваше обозрение.
2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат

гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

1 СПОСОБ.

Пользуясь свойствами площадей многоугольников, установим замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.

Доказательство.

а, в и гипотенузой с (рис.1, а).

Докажем, что с²=а²+в² .

Доказательство.

Достроим треугольник до квадрата со стороной а + в так, как показано на рис. 1, б. Площадь S этого квадрата равна (а + в)² . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ½ав  , и квадрата со стороной с, поэтому S= 4 * ½ав + с ² = 2ав + с ².

Таким образом,

(а + в )² = 2ав + с ²,

с²=а²+в² .

Теорема доказана.
2 СПОСОБ.

После изучения темы «Подобные треугольники» я выяснила, что можно применить подобие треугольников к доказательству теоремы Пифагора. А именно, я воспользовалась утверждением о том, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом С, СD– высота (рис. 2). Докажем, что АС ² +СВ ² = АВ ² .

Доказательство.

На основании утверждения о катете прямоугольного треугольника:

АС = , СВ = .

Возведем в квадрат и сложим полученные равенства:

АС² = АВ * АD, СВ² = АВ * DВ;

АС² + СВ² = АВ * (АD + DВ), где АD+DB=AB, тогда

АС² + СВ² = АВ * АВ,

АС² + СВ² = АВ².

Доказательство закончено.
3 СПОСОБ.

К доказательству теоремы Пифагора можно применить определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Рассмотрим рис. 3.

Доказательство:

Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СD из вершины прямого угла С.

По определению косинуса угла:

cos А = АD/АС = АС/АВ. Отсюда АВ * АD = АС²

Аналогично,

cos В = ВD/ВС = ВС/АВ.

Отсюда АВ * ВD = ВС² .

Складывая полученные равенства почленно и замечая, что АD + DВ = АВ, получим:

АС ² + ВС ² = АВ (АD + DВ) = АВ ²

Доказательство закончено.
4 СПОСОБ.

Изучив тему «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника», я думаю, что теорему Пифагора можно доказать ещё одним способом.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, в и гипотенузой с . (рис. 4).

Докажем, что с²=а²+в².

Доказательство.

sinВ= в/с ; cosВ= a/с, то, возведя в квадрат полученные равенства, получим:

sin²В= в²/с²; cos²В = а²/с².

Сложив их, получим:

sin²В + cos²В= в²/с²+ а²/с², где sin²В + cos²В=1,

1= (в²+ а²) / с², следовательно,

с²= а² + в².

Доказательство закончено.

5 СПОСОБ.

Данное доказательство основано на разрезании квадратов, построенных на катетах (рис. 5), и укладывании полученных частей на квадрате, по­строенном на гипотенузе.

6 СПОСОБ.

Для доказательства на катете ВС строим BCD ABC (рис.6). Мы знаем, что пло­щади подобных фигур отно­сятся как квадраты их сход­ственных линейных размеров:

Вычитая из первого равенства второе, получим

с2 = а2 + b2.

Доказательство закончено.

7 СПОСОБ.

Дано (рис. 7):

ABС, = 90°, ВС = а, АС= b, АВ = с.

Доказать: с2 = а2 + b2 .

Доказательство.

Пусть катет b а. Продолжим отре­зок СВ за точку В и построим треугольник BMD так, что­бы точки М и А лежали по одну сторону от прямой CD и, кроме того, BD = b, BDM = 90°, DM = a, тогда BMD = ABC по двум сторонам и углу между ними. Точки А и М соединим отрезками AM. Имеем MD CD и AC CD, значит, прямая АС параллельна прямой MD. Так как MD < АС, то прямые CD и AM не параллельны. Следова­тельно, AMDC - прямоугольная трапеция.

В прямоугольных треугольниках ABC и BMD 1 + 2 = 90° и 3 + 4 = 90°, но так как = =, то 3 + 2 = 90°; тогда АВМ =180° - 90° = 90°. Оказа­лось, что трапеция AMDC разбита на три неперекрываю­щихся прямоугольных треугольника, тогда по аксиомам площадей

(a+b)(a+b)

Разделив все члены неравенства на , получим

а b + с2 + а b = (а + b) , 2 ab + с2 = а2 + 2а b + b2,

с2 = а2 + b2.

Доказательство закончено.

8 СПОСОБ.

Данный способ основывается на гипотенузе и кате­тах прямоугольного тре­угольника ABC. Он строит соответствующие квадра­ты и доказывает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, постро­енных на катетах (рис. 8).

Доказательство.

1) DBC = FBA = 90°;

DBC + ABC = FBA + ABC, значит, FBC = DBA.

Таким образом, FBC =ABD (по двум сторонам и углу между ними).

2) , где AL DE, так как BD - общее основание, DL - общая высота.

3) , так как FB –снование, АВ - общая высота.

4)

5) Аналогично можно доказать, что

6) Складывая почленно, получаем:

, ВС2 = АВ2 + АС2 . Доказательство закончено.

9 СПОСОБ.

Доказательство.

1) Пусть ABDE - квадрат (рис. 9), сторона которого рав­на гипотенузе прямоугольно­го треугольника ABC (АВ = с, ВС = а, АС = b).

2) Пусть DK BC и DK = ВС, так как 1 + 2 = 90° (как острые углы прямоугольно­го треугольника), 3 + 2 = 90° (как угол квадрата), АВ = BD (стороны квадрата).

Значит, ABC = BDK (по гипотенузе и острому углу).

3)Пусть EL DK, AM EL. Можно легко доказать, что ABC = BDK =DEL = ЕАМ (с катетами а и b). Тогда КС = СМ = ML = LK = а - b.

4) SKB = 4S + SKLMC = 2ab + (a - b), с 2 = 2ab + a2 - 2ab + b2, c2 = a2 + b2 .

Доказательство закончено.

10 СПОСОБ.

Доказательство может быть проведено на фигуре, в шутке называемой «Пифагоровы штаны» (рис. 10). Идея его со­стоит в преобразовании квад­ратов, построенных на кате­тах, в равновеликие треуголь­ники, составляющие вместе квадрат гипотенузы.

ABC сдвигаем, как пока­зано стрелкой, и он занимает положение KDN. Оставша­яся часть фигуры AKDCB рав­новелика площади квадрата AKDC – это параллелограмм AKNB.

Сделана модель параллелограмма AKNB . Параллелограмм перекладываем так, как зарисовано в содержании работы. Чтобы показать преобразование парал­лелограмма в равновеликий треугольник, на глазах уча­щихся отрезаем на модели треугольник и перекладываем его вниз. Таким образом, площадь квадрата AKDC получилась равна площади прямоугольника. Аналогично преоб­разуем площадь квадрата в площадь прямоугольника.

Произведем преобразование для квадрата, построенно­го на катете а (рис. 11,а):

а) квадрат преобразуется в равновеликий параллелог­рамм (рис. 11,6):

б) параллелограмм поворачивается на четверть оборо­та (рис. 12):

в) параллелограмм преобразуется в равновеликий пря­моугольник (рис. 13): 11 СПОСОБ.

Доказательство:

PCL – прямая (Рис. 14);

KLOA = ACPF = ACED = а2;

LGBO = СВМР = CBNQ = b2;

AKGB = AKLO + LGBO = с2;

с2 = а2 + b2.

Доказательство окончено.

12 СПОСОБ.

Рис. 15 иллюстрирует еще одно ориги­нальное доказательство теоремы Пифагора.

Здесь: треугольник ABC с прямым углом С; отрезок BF перпендикулярен СВ и равен ему, отрезок BE перпендикулярен АВ и равен ему, отрезок AD перпендикулярен АС и равен ему; точки F, С, D принадлежат одной пря­мой; четырехугольники ADFB и АСВЕ равновели­ки, так как ABF = ЕСВ; треугольники ADF и АСЕ равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них тре­угольник ABC, получим

, с2 = а2 + b2.

Доказательство закончено.

13 СПОСОБ.

Площадь данного пря­моугольного треугольни­ка, с одной стороны, равна , с другой, ,

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В результате поисковой деятельности была достигнута цель работы, заключающаяся в пополнении и обобщении знаний по доказательству теоремы Пифагора. Удалось найти и рассмотреть различные способы её доказательства и углубить знания по теме, выйдя за страницы школьного учебника.

Собранный мною материал ещё больше убеждает в том, что теорема Пифагора является великой теоремой геометрии, имеет огромное теоретическое и практическое значение. В завершении хотелось бы сказать: причина популярности теоремы Пифагора триедина - это красота, простота и значимость!

4. ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.

1. Занимательная алгебра. . Москва «Наука», 1978.

2. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября», 24/2001.

3. Геометрия 7-9. и др.

4. Геометрия 7-9. и др.