ВВЕДЕНИЕ
Дифференциальное уравнение -- уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.
Порядок дифференциального уравнения -- наибольший порядок производных, входящих в него.
Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.
Все дифференциальные уравнения можно разделить на линейные и не линейные.
Нелинейное дифференциальное уравнение - дифференциальное уравнение (обыкновенное или с частными производными), в которое по крайней мере одна из производных неизвестной функции (включая и производную нулевого порядка - саму неизвестную функцию) входит нелинейно.
Иногда под Н.Д.У. понимается наиболее общее уравнение определенного вида. Напр., нелинейнымобыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка наз. уравнение с произвольной функцией при этом линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка соответствует частному случаю
Н. д. у. с частными производными 1-го порядка для неизвестной функции z от независимых переменных имеет вид:
где F- произвольная функция своих аргументов;
Виды нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка
Уравнения с разделенными переменными
Общий интеграл
Общий интеграл
Уравнение в полных дифференциалах
Существует такая функция u(x, y), что
Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах u(x, y) = C.
Функция u может быть представлена в виде
Однородное уравнение
где P(x, y), Q(x, y) - однородные функции одной и той же степени
Подстановка y = ux, dy = xdu + udx переводит однородное уравнение в линейное относительно функции u:
Уравнение вида
1. Если прямые и пересекаются в точке (x0; y0), то замена приводит его к однородному уравнению
2. Если прямые и параллельны, то замена приводит к уравнению с разделяющимися переменными
Уравнение Бернулли
Подстановкой сводится к линейному
Уравнение Риккати
Если известно какое-либо из решений, то уравнение сводится к
линейному подстановкой.
Уравнение Лагранжа
Дифференцируя по x и полагая y" = p, приходим к линейному уравнению относительно x как функции p:
Уравнение Клеро
Частный случай уравнения Лагранжа.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.
Уравнения Риккати
Решить дифференциальное уравнение
y" = y + y2 + 1.
Данное уравнение является простейшим уравнением Риккати с постоянными коэффициентами. Переменные x, y здесь легко разделяются, так что общее решение уравнения определяется в следующем виде:
дифференциальный уравнение решение бернулли
Решить уравнение Риккати
Будем искать частное решение в форме:
Подставляя это в уравнение, находим:
Получаем квадратное уравнение для c:
Мы можем выбрать любое значение c. Например, пусть c = 2. Теперь, когда частное решение известно, сделаем замену:
Снова подставим это в исходное уравнение Риккати:
Как видно, мы получили уравнение Бернулли с параметром m = 2. Сделаем еще одну замену:
Разделим уравнение Бернулли на z2 (полагая, что z ? 0) и запишем его через переменную v:
Последнее уравнение является линейным и легко решается с помощью интегрирующего множителя:
Общее решение линейного уравнения определяется функцией
Теперь мы будем последовательно возвращаться к предыдущим переменным. Так как z = 1/v, то общее решение для z записывается следующим образом:
Следовательно,
Можно переименовать константу: 3C = C1 и записать ответ в виде
где C1 ? произвольное действительное число.
Уравнения Бернули
Данное уравнение является уравнением Бернулли с дробным параметром m = 1/2. Его можно свести к линейному дифференциальному уравнению с помощью замены
Производная новой функции z(x) будет равна
Разделим исходное уравнение Бернулли на
Аналогично другим примерам на этой веб-странице, корень y = 0 также является тривиальным решением дифференциального уравнения. Поэтому можно записать:
Заменяя y на z, находим:
Итак, мы имеем линейное уравнение для функции z(x). Интегрирующий множитель здесь будет равен
Выберем в качестве интегрирующего множителя функцию u(x) = x. Можно проверить, что после умножения на u(x) левая часть уравнения будет представлять собой производную произведения z(x)u(x):
Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения будет определяться выражением:
Возвращаясь к исходной функции y(x), записываем решение в неявной форме:
Итак, полный ответ имеет вид:
Уравнения с разделяющимися переменными
Найти все решения дифференциального уравнения
Преобразуем уравнение следующим образом:
Очевидно, что деление на ey не приводит к потере решения, поскольку ey > 0. После интегрирования получаем
Данный ответ можно выразить в явном виде:
В последнем выражении предполагается, что константа C > 0, чтобы удовлетворить области определения логарифмической функции.
Найти частное решение уравнения, при
Перепишем уравнение в следующем виде:
Разделим обе части на 1 + ex:
Поскольку 1 + ex > 0, то при делении мы не потеряли никаких решений. Интегрируем полученное уравнение:
Теперь найдем константу C из начального условия y(0) = 0.
Следовательно, окончательный ответ имеет вид:
Уравнение Клеро
Полагая y" = p, его можно записать в виде
Продифференцировав по переменной x, находим:
Заменим dy на pdx:
Приравнивая первый множитель к нулю, получаем:
Теперь подставим это во второе уравнение:
В результате получаем общее решение заданного уравнения Клеро. Графически, это решение представляется в виде однопараметрического семейства прямых. Приравнивая нулю второй сомножитель, находим еще одно решение:
Это уравнение соответствует особому решению дифференциального уравнения и в параметрической форме записывается как
Исключая p из системы, получаем следующее уравнение интегральной кривой:
С геометрической точки зрения, парабола
является огибающей семейства прямых, определяемых общим решением.
Найти общее и особое решения дифференциального уравнения
Введем параметр y" = p:
Дифференцируя обе части уравнения по переменной x, получаем:
Поскольку dy = pdx, то можно записать:
Рассмотрим случай dp = 0. Тогда p = C. Подставляя это в уравнение, находим общее решение:
Графически это решение соответствует однопараметрическому семейству прямых линий.
Второй случай описывается уравнением
Найдем соответствующее параметрическое выражение для y:
Параметр p можно исключить из формул для x и y. Возводя последние уравнения в квадрат и складывая их, получаем:
Полученное выражение является уравнением окружности радиусом 1, расположенным в начале координат. Таким образом, особое решение представляется единичной окружностью в плоскости xy, которая является огибающей для семейства прямых линий.
ЛИТЕРАТУРА
1. Н.С. Пискунов "Дифференциальное и интегральное исчисление", том второй, издательство "Наука", Москва 1985
2. В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001.
3. К.Н. Лунгу, В.П. Норин и др. "Сборник задач по высшей математике", второй курс, Москва: Айрис-пресс, 2007
4. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.
5. Источники информации в интернете.
Простейшим д.у.1 является уравнение вида Как известно из курса интегрального исчисления, функцияy находится интегрированием
Определение. Уравнение вида называется дифференциальным уравнением сразделенными переменными. Его можно записать в виде
Проинтегрируем обе части уравнения, получим так называемый общий интеграл (или общее решение).
Пример.
Решение.
Запишем уравнение в виде
Проинтегрируем обе части уравнения:
(общий интеграл дифференциального
уравнения).
Определение. Уравнение вида называется уравнениемс разделяющимися переменными, если функции можно представить в виде произведения функций
т. е. есть уравнение имеет вид
Чтобы решить
такое дифференциальное уравнение, нужно
привести его к виду дифференциального
уравнения с разделенными переменными,
для чего разделим уравнение на
произведение
Действительно, разделив все члены
уравненияна произведение
,
–дифференциальное
уравнение с разделенными переменными.
Для решения его достаточно почленно проинтегрировать
При решении дифференциального уравнения с разделяющимися переменными можно руководствоваться следующим алгоритмом (правилом) разделения переменных.
Первый шаг.
Если дифференциальное уравнение
содержит производную
,
ее следует записать в виде отношения
дифференциалов:
Второй шаг.
Умножим уравнение на
,
затем сгруппируем слагаемые, содержащие
дифференциал функции и дифференциал
независимой переменной
.
Третий шаг.
Выражения,
полученные при
,
представить в виде произведения двух
множителей, каждый из которых содержит
только одну переменную (
).
Если после этого уравнение примет видто, разделив его
на произведение
,
получим дифференциальное уравнение с
разделенными переменными.
Четвертый шаг. Интегрируя почленно уравнение, получим общее решение исходного уравнения (или его общий интеграл).
Рассмотрим уравнения
№ 2.
№ 3.
Дифференциальное
уравнение № 1 является дифференциальным
уравнением с разделяющимися переменными,
по определению. Разделим уравнение на
произведение
Получим уравнение
Интегрируя, получим
или
Последнее соотношение есть общий интеграл данного дифференциального уравнения.
В дифференциальном
уравнении № 2 заменим
умножим на
,
получим
общее решение
дифференциального уравнения.
Дифференциальное уравнение № 3 не является уравнением с разделяющимися переменными, т. к., записав его в виде
или
,
видим, что выражение
в виде произведения двух множителей
(один –
только с y, другой – только с х ) представить невозможно. Заметим, что иногда нужно выполнить алгебраические преобразования, чтобы видеть, что данное дифференциальное уравнение – с разделяющимися переменными.
Пример № 4
.
Дано уравнение
Преобразуем уравнение, вынося общий
множитель слева
Разделим левую и правую части уравнения
на произведение
получим
Проинтегрируем обе части уравнения:
откуда
– общий интеграл данного уравнения.
(а)
Заметим, что если
постоянную интегрирования записать в
виде
,
то общий интеграл данного уравнения
может иметь другую форму:
или
– общий интеграл.
(б)
Таким образом,
общий интеграл одного и того же
дифференциального уравнения может
иметь различную форму. Важно в любом
случае доказать, что полученный общий
интеграл удовлетворяет данному
дифференциальному уравнению. Для этого
нужно продифференцировать по х
обе части
равенства, задающего общий интеграл,
учитывая, что y
есть функция
от х
.
После исключения с
получим одинаковые дифференциальные
уравнения (исходное). Если общий
интеграл
,
(вид (а
)),
то
Если общий интеграл
(вид (б)), то
Получим то же уравнение, что и в предыдущем случае (а).
Рассмотрим теперь простые и важные классы уравнений первого порядка, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.
Тогда настало самое время, чтобы перейти к более сложной теме, а именно, решению дифференциальных уравнений (ДУ, в простонародье диффуров). Но не все так страшно, как кажется на первый взгляд.
Дифференциальное уравнение: что это такое?
Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, которое вместе с самой функцией (и ее аргументами), содержит еще и ее производную или несколько производных.
Дифференциальное уравнение: что нужно знать еще?
Первое (и главное), что понадобится, это умение правильно определять тип дифференциального уравнения. Второе, но не менее важное, это умение хорошо интегрировать и дифференцировать.
Не секрет, что дифференциальные уравнения бывают разных типов. Но… для начала отметим, что ДУ бывают разных порядков. Порядок ДУ — это порядок высшей производной, входящей в дифференциальное уравнение. Классификацию ДУ согласно порядку уравнения можно посмотреть в следующей таблице:
| Порядок уравнения | Вид уравнения | Пример |
|---|---|---|
| I |  |
|
| II |  |
|
| … | … | … |
| n |  |
Наиболее часто приходится иметь дело с ДУ первого и второго порядка, реже третьего. В 99% случаев в задачах встречаются три типа ДУ первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения и линейные неоднородные уравнения. Иногда еще встречаются более редкие типы ДУ: уравнения в полных дифференциалах, уравнения Бернулли и др. Среди ДУ второго порядка часто встречаются уравнения, приводящиеся к ДУ первого порядка, линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Дифференциальное уравнение: решение – что это значит и как его найти?
При решении ДУ нам предлагается найти либо общее решение (общий интеграл), либо частное решение. Общее решение y = f(x, C) зависит от некоторой постоянной (С — const), а частное решение не зависит: y = f(x, C 0) .
К выполнению контрольной работы №3
Указания
(темы 12-16)
Тема 12. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Пискунов, гл. VIII, § 1-8, упр. 1-68
Данко, часть II, гл. IV, §1
12.1 Определение дифференциального уравнения первого порядка.
1.Определение . Равенство, связывающее независимую переменную х , функцию у и производные (или дифференциалы) этой функции называются дифференциальным уравнением первого порядка (DY 1) т.е.
F (x,y,y")=0 или y"=f (x,y)
Решить дифференциальное уравнение первого порядка – значит, найти неизвестную функцию y .
2.Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y= j (x,c) , где C - постоянная, которая при подстановке в дифференциальное уравнение первого порядка обращает его в тождество. На плоскости XOY общее решение y=j(x,c) выражает семейство интегральных кривых.
3. Всякое решение y= j (x,С 0) полученное из общего решения при конкретном значении С=С 0 называется частным решением дифференциального уравнения первого порядка.
4. Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения первого порядка , удовлетворяющего начальному условию
Или , или
|
5. -ДУ 1 с разделяющимися переменными.
6. - ОДУ 1 – однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка или , где , - однородные функции одного измерения. Используется подстановка
7. , где . ДУ 1 , приводимое к однородному подстановкой
Где - точка пересечения прямых
Если , то используется подстановка
8. , где - называется уравнением в полных дифференциалах.
Где - полный дифференциал функции
Решить данное уравнение- значит, найти функцию и .
9. - линейное ДУ 1 (ЛДУ 1)
Если , то уравнение неоднородное,
Если , то уравнение однородное.
ЛДУ 1 интегрируются:
1) Методом Бернулли (с помощью подстановки y = иv , где u и v -пока неизвестные функции)
2) Методом Лагранжа, варьируя произвольную постоянную.
10. , где m - число, m¹0 , m¹1 - дифференциальное уравнение Бернулли, решаемое либо с помощью подстановки y= uv , либо методом Лагранжа (см. пункт 9).
12.2. Примеры решения задач.
Задача 1. Найти частное решение ДУ 1 , удовлетворяющему начальному условию .
Решение : Данное уравнение с разделяющимися переменными.
Т.к. , то уравнение примет вид:
Или - после отделения переменных.
Интегрируя обе части последнего уравнения, получим:
Или -общее решение
Используя начальное условие , , находим . Тогда из общего решения выделяется частное решение:
Задача 2.
Решение: Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных x и y . Применяем подстановку y=xt , где t - некоторая функция аргумента x . Если y= xt , то дифференциал dy = d(xt) = tdx+ xdt , и данное уравнение примет вид:
2xxtdt+(x²t²-x²) (tdx+xdt)= 0
Сократив на x² , будем иметь:
2tdx+(t²-1) (tdx+xdt)=0
2tdx+(t²-1) tdx+x (t²-1)dt=0
t(2+t²-1) dx+x (t²-1)dt=0
t(1+t²)dx= x(1-t²)dt; .
Мы получили уравнение с разделёнными переменными относительно x и t . Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:
Потенцируя, находим , или x(1+t²)=Ct . Из введённой подстановки следует, что . Следовательно, или x²+y²= Cy – общее решение данного уравнения.
Задача 3. Найти общее решение уравнения y"-y tg x=2 xsec x.
Решение: Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию y и её производную y" в первой степени и не содержит их произведений.
Применяем подстановку y= uv , где u и v –некоторые неизвестные функции аргумента x . Если y=uv , то y"= (uv)"= u"v+uv" и данное уравнение примет вид: u"v+uv"-uvtg x= 2x sec x,
v(u"-utg x)+ uv"= 2xsec x. (1)
Так как искомая функция y представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию u так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части неравенства (1), обращалось в нуль, т.е выберем функцию u так, чтобы имело место равенство
u"-utg x= 0 (2)
При таком выборе функции u уравнение (1) примет вид
uv"= 2x sec x. (3)
Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим это уравнение:
ln u= -ln cos x , или
(Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной C=0.) Подставив в (3) найденное выражение для u, получим:
secxv"= 2xsecx; v"= 2x; dv= 2xdx. Интегрируя, получаем v=x²+C . Тогда y=secx(x²+C) - общее решение данного уравнения.
12.3.Вопросы для самоконтроля.
1. Какое уравнение называется дифференциальным?
2. Как определяется порядок уравнения? Примеры.
3. Что значит решить ?
4. Какая функция называется решением ?
5. Какое решение называется общим, частным?
6. Как найти частное решение по начальным условиям? Записать план операций, выполняемых при решении на примере y"- 2x= 0 при начальных условиях y (-2)= 4.
7. Сформулировать геометрический смысл общего и частного решения .
Дифференциальное уравнение - это соотношение, имеющее вид F(x 1 ,x 2 ,x 3 ,..,y,y′,y′′,...y (n)) = 0 , и которое связывает независимые переменные x 1 ,x 2 ,x 3 ,... функцию y этих независимых переменных и ее производные до n -го порядка. Причем функция F определяется и достаточное число раз дифференцируется в некоторой области изменения своих аргументов.
Обыкновенные дифференциальные уравнения - это дифференциальные уравнения, содержащие лишь одну независимую переменную.
Дифференциальные уравнения в частных производных - это дифференциальные уравнения, в которых содержится 2 и более независимых переменных.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка в общем случае содержит:
1) независимую переменную х ;
2) зависимую переменную y (функцию);
3) первую производную функции: y ’ .
В некоторых уравнениях первого порядка может отсутствовать х или (и) y , но это не существенно - важно чтобы в дифференциальных уравнениях была 1-я производная y ’ , и не было производных высших порядков - y ’’ , y ’’’ и так далее.
Дифференциальное уравнение — уравнение, которое связывает значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть разным (формально он не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях либо все, кроме хотя бы 1-й производной, отсутствовать совсем. Не каждое уравнение, которое содержит производные неизвестной функции, оказывается дифференциальным уравнением. Например , не есть дифференциальным уравнением.
Дифференциальное уравнение порядка выше 1-го можно преобразовать в систему уравнений 1-го порядка, в которой количество уравнений равняется порядку начального уравнения.
Классификация дифференциальных уравнений.
Порядок дифференциального уравнения - это порядок старшей производной, которая входит в него.
Степень дифференциального уравнения - это показатель степени, в которую возведена производная самого высокого порядка.
Например , уравнение 1-го порядка 2-й степени:
Например , уравнение 4-го порядка 1-й степени:
Бывает дифференциальные уравнения записывают как (в него входят дифференциалы):
(x
2
- 3
xy
2
)
dx
+ (xy
2
- 3
x
2
y
)
dy
= 0;
В таком случае переменные x и y нужно полагать равноправными. Если нужно, подобное уравнение приводят к виду, в котором явно содержится производная y" . Разделим на dx :
Так как и , значит, уравнение принимает вид, который содержит производную 1-го порядка.
