Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax 2 + bx + c , где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Коэффициент а называют старшим коэффициентом , c – свободным членом квадратного трехчлена.

Примеры квадратных трехчленов:

2 x 2 + 5 x + 4 (здесь a = 2, b = 5, c = 4)

x 2 – 7x + 5 (здесь a = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x – 9 (здесь a = 9, b = 9, c = -9)

Коэффициент b или коэффициент c либо оба коэффициента одновременно могут быть равны нулю. Например:

5 x 2 + 3 x (здесь a = 5, b = 3, c = 0, поэтому значение c в уравнении отсутствует).

6x 2 – 8 (здесь a = 6, b = 0, c = -8)

2x 2 (здесь a = 2, b = 0, c = 0)

Значение переменной, при котором многочлен обращается в ноль, называют корнем многочлена .

Чтобы найти корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c , надо приравнять его к нулю –
то есть решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 (см.раздел "Квадратное уравнение").

Разложение квадратного трехчлена на множители

Пример:

Разложим на множители трехчлен 2x 2 + 7x – 4.

Мы видим: коэффициент а = 2.

Теперь найдем корни трехчлена. Для этого приравняем его к нулю и решим уравнение

2x 2 + 7x – 4 = 0.

Как решается такое уравнение – см. в разделе «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу назовем результат вычислений. Наш трехчлен имеет два корня:

x 1 = 1/2, x 2 = –4.

Подставим в нашу формулу значения корней, вынеся за скобки значение коэффициента а , и получим:

2x 2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

Полученный результат можно записать иначе, умножив коэффициент 2 на двучлен x – 1/2:

2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

Задача решена: трехчлен разложен на множители.

Такое разложение можно получить для любого квадратного трехчлена, имеющего корни.

ВНИМАНИЕ!

Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен имеет один корень, но при разложении трехчлена этот корень принимают как значение двух корней – то есть как одинаковое значение x 1 и x 2 .

К примеру, трехчлен имеет один корень, равный 3. Тогда x 1 = 3, x 2 = 3.

Разработка открытого урока

по алгебре в 8 классе

по теме: «Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители.»

Учитель математики КГУ СОШ №16 г.Караганды

Бекенова Г.М.

Караганда 2015

"Математику нельзя изучать наблюдая".

Ларри Нивен - профессор математики

Тема урока:

Квадратный трехчлен.

Разложение квадратного трехчлена на множители.

Цели урока:

1. Добиться от всех учащихся класса успешной отработки и применения знаний при разложении квадратного трехчлена на множители.

2. Способствовать: а) развитию самоконтроля и самообучения,

б) умению пользоваться интерактивной доской,

в) развитию математической грамотности, аккуратности.

3. Воспитывать умение грамотно, лаконично выражать свою мысль, толерантно относиться к точке зрения одноклассников, получать удовлетворение от достигнутых результатов.

Тип урока: комбинированный урок с дифференцированным и индивидуальным подходом, с элементами развивающего и опережающего обучения.

Место урока: третий урок по данной теме(основной), на первых двух ученики узнали определение квадратного трехчлена, научились находить его корни, познакомились с алгоритмом разложения квадратного трехчлена на множители, а это в дальнейшем поможет в решении уравнений, сокращении дробей, преобразовании алгебраических выражений.

Структура урока:

1 Актуализация знаний с дифференцированным подходом к учащимся.

2 Контроль- самопроверка ранее усвоенных знаний.

3 Изложение нового материала- частично поисковый метод.

4 Первичное закрепление изученного, индивидуально- дифференцированный подход.

5 Осмысление, обобщение знаний.

6 Постановка домашнего задания методом проблемного обучения.

Оборудование: интерактивная доска, обычная доска, карточки с заданиями, учебник «Алгебра 8», копировальная бумага и чистые листочки, символы физиогностики.

Ход урока

Организационный момент (1 минута).

1. Приветствие учащихся; проверка их готовности к уроку.

2. Сообщение цели урока.

І этап.

“Повторение - мать учения.”

1. Проверка домашнего задания. № 476 (б,г), №474, №475

2. Индивидуальная работа по карточкам (4 человека)(во время проверки домашнего задания)(5 минут)

ІІ этап.

"Доверяй, но проверяй"

Проверочная работа с самоконтролем.

Проверочная работа(через копировальную бумагу) с самопроверкой.

І вариантm ІІ вариан т

1) 2)

2. Разложить на множители квадратный трехчлен:

Ответы

к проверочной работе

"Доверяй, но проверяй."

1. Найти корни квадратного трехчлена:

І вариант ІІ вариа н т

2. Разложить квадратный трехчлен на множители:

1) (X-3) (X+5); 1) (X+9) (X-7)

2) 9X (X-14); 2) 8X(X-16);

3) 4 (X-6) (X+6). 3) 7 (X-3) (X+3).

Несколько ярких ответов отметить.

Вопрос учащимся:

Как вы думаете, где можно применить разложение квадратного трехчлена на множители?

Верно:при решении уравнений,

при сокращении дробей,

в преобразовании алгебраических выражений.

ІІІ этап

” Уменье и труд все перетрут ” (10 минут)

1. Рассмотрим применение разложения квадратного трехчлена на множители при сокращении дробей. Работа учащихся у доски.

Сократить дробь:

2. А теперь рассмотрим применение разложения квадратного трехчлена на множители в преобразованиях алгебраических выражений.

Учебник. Алгебра 8. стр. 126 № 570 (б)

А теперь покажите, как вы применяете разложение квадратного трехчлена на множители.

IV этап

"Куй железо, пока горячо!"

Самостоятельная работа (13 минут)

І вариант ІІ вариант

Сократить дробь:

5. Я понял что…….

6. Теперь я могу…….

7. Я почувствовал что…..

8. Я приобрёл….

9. Я научился…….

10.У меня получилось………

11.Я смог….

12. Я попробую……

13. Меня удивило…..

14. Урок дал мне для жизни….

15. Мне захотелось….

Информация о домашнем задании: на следующий урок принести домашнюю самостоятельную работу, которую получили неделю назад.

Домашняя самостоятельная работа.

І вариант І І вариант

№ 560 (а,в) № 560 (б,г)

№ 564 (а,в) № 564(б,г)

№ 566 (а) № 566 (б)

№ 569 (а) № 569 (б)

№ 571 (а,в) № 571 (б,г)

Урок окончен.

Мир погружён в огромное количество чисел. Любые исчисления происходят с их помощью.

Люди учат цифры для того, чтобы в дальнейшей жизни не попадаться на обман. Необходимо уделять огромное количество времени, чтобы быть образованным и рассчитать собственный бюджет.

Математика - это точная наука, которая играет большую роль в жизни. В школе дети изучают цифры, а после, действия над ними.

Действия над числами бывают совершенно разными: умножение, разложение, добавление и прочие. Помимо простых формул, в изучении математики используют и более сложные действия. Существует огромное количество формул, по которым узнают любые значения.

В школе, как только появляется алгебра, в жизнь школьника добавляются формулы упрощения. Бывают уравнения, когда неизвестных числа два, но найти простым способом не получится. Трёхчлен - соединение трёх одночленов, с помощью простого метода отнимания и добавления. Трёхчлен решается с помощью теоремы Виета и дискриминанта.

Формула разложения квадратного трёхчлена на множители

Существуют два правильных и простых решения примера :

• дискриминант;
• теорема Виета.

Квадратный трёхчлен имеет неизвестный в квадрате, а также число без квадрата. Первый вариант для решения задачи использует формулу Виета. Это простая формула , если цифры, что стоят перед неизвестным, будут минимальным значением.

Для других уравнений, где число стоит перед неизвестным, уравнение необходимо решать через дискриминант. Это более сложное решение, но используют дискриминант намного чаще, нежели теорему Виета.

Изначально, для нахождения всех переменных уравнения необходимо возвести пример к 0. Решение примера можно будет проверить и узнать правильно ли подстроены числа.

Дискриминант

1. Необходимо приравнять уравнение к 0.

2. Каждое число перед х будет названо числами a, b, c. Так как перед первым квадратным х нет числа, то оно приравнивается к 1.

3. Теперь решение уравнения начинается через дискриминант:

4. Теперь нашли дискриминант и находим два х. Разница заключается в том, что в одном случае перед b будет стоять плюс, а в другом минус:

5. По решению два числа получилось -2 и -1. Подставляем под первоначальное уравнение:

6. В этом примере получилось два правильных варианта. Если оба решения подходят, то каждое из них является истинным.

Через дискриминант решают и более сложные уравнение. Но если само значение дискриминанта будет меньше 0, то пример неправильный. Дискриминант при поиске всегда под корнем, а отрицательное значение не может находиться в корне.

Теорема Виета

Применяется для решения лёгких задач, где перед первым х не стоит число, то есть a=1. Если вариант совпадает, то расчёт проводят через теорему Виета.

Для решения любого трёхчлена необходимо возвести уравнение к 0. Первые шаги у дискриминанта и теоремы Виета не отличаются.

2. Теперь между двумя способами начинаются отличия. Теорема Виета использует не только «сухой» расчёт, но и логику и интуицию. Каждое число имеет свою букву a, b, c. Теорема использует сумму и произведение двух чисел.

Запомните! Число b всегда при добавлении стоит с противоположным знаком, а число с остаётся неизменным!

Подставляя значения данные в примере, получаем:

3. Методом логики подставляем наиболее подходящие цифры. Рассмотрим все варианты решения:

1. Цифры 1 и 2. При добавлении получаем 3, но если умножить, то не получится 4. Не подходит.
2. Значение 2 и -2. При умножении будет -4, но при добавлении получается 0. Не подходит.
3. Цифры 4 и -1. Так как в умножении стоит отрицательное значение, значит, одно из чисел будет с минусом. При добавлении и умножении подходит. Правильный вариант.

4. Остаётся только проверить, раскладывая числа, и посмотреть правильность подобранного варианта.

5. Благодаря онлайн-проверке мы узнали, что -1 не подходит по условию примера, а значит является неправильным решением.

При добавлении отрицательного значения в примере, необходимо цифру заносить в скобки.

В математике всегда будут простые задачи и сложные. Сама наука включает в себя разнообразие задач, теорем и формул. Если понимать и правильно применять знания, то любые сложности с вычислениями будут пустяковыми.

Математика не нуждается в постоянном запоминании. Нужно научится понимать решение и выучить несколько формул. Постепенно, по логическим выводам, можно решать похожие задачи, уравнения. Такая наука может с первого взгляда показаться очень тяжёлой, но если окунутся в мир чисел и задач, то взгляд резко изменится в лучшую сторону.

Технические специальности всегда остаются самыми востребованными в мире. Сейчас, в мире современных технологий, математика стала незаменимым атрибутом любой сферы. Нужно всегда помнить о полезных свойствах математики.

Разложение трёхчлена с помощью скобки

Кроме решения привычными способами, существует ещё один - разложение на скобки. Используют с применением формулы Виета.

1. Приравниваем уравнение к 0.

ax 2 + bx+ c = 0

2. Корни уравнения остаются такими же, но вместо нуля теперь используют формулы разложения на скобки.

ax 2 + bx+ c = a ( x – x 1) ( x – x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 ( x + 1) ( x – 3)

4. Решение х=-1, х=3

Приводится 8 примеров разложения многочленов на множители. Они включают в себя примеры с решением квадратных и биквадратных уравнений, примеры с возвратными многочленами и примеры с нахождением целых корней у многочленов третьей и четвертой степени.

1. Примеры с решением квадратного уравнения

Пример 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2 .

Решение

Выносим x 2 за скобки:
.
2 + x - 6 = 0 :
.
Корни уравнения:
, .

.

Ответ

Пример 1.2

Разложить на множители многочлен третьей степени:
x 3 + 6 x 2 + 9 x .

Решение

Выносим x за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 + 6 x + 9 = 0 :
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант равен нулю, то корни уравнения кратные: ;
.

Отсюда получаем разложение многочлена на множители:
.

Ответ

Пример 1.3

Разложить на множители многочлен пятой степени:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3 .

Решение

Выносим x 3 за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 - 2 x + 10 = 0 .
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант меньше нуля, то корни уравнения комплексные: ;
, .

Разложение многочлена на множители имеет вид:
.

Если нас интересует разложение на множители с действительными коэффициентами, то:
.

Ответ

Примеры разложения многочленов на множители с помощью формул

Примеры с биквадратными многочленами

Пример 2.1

Разложить биквадратный многочлен на множители:
x 4 + x 2 - 20 .

Решение

Применим формулы:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2 ;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) .

;
.

Ответ

Пример 2.2

Разложить на множители многочлен, сводящийся к биквадратному:
x 8 + x 4 + 1 .

Решение

Применим формулы:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2 ;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) :

;

;
.

Ответ

Пример 2.3 с возвратным многочленом

Разложить на множители возвратный многочлен:
.

Решение

Возвратный многочлен имеет нечетную степень. Поэтому он имеет корень x = -1 . Делим многочлен на x - (-1) = x + 1 . В результате получаем:
.
Делаем подстановку:
, ;
;


;
.

Ответ

Примеры разложения многочленов на множители с целыми корнями

Пример 3.1

Разложить многочлен на множители:
.

Решение

Предположим, что уравнение

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504 ;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120 ;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60 ;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24 ;
1 3 - 6·1 2 + 11·1 - 6 = 0 ;
2 3 - 6·2 2 + 11·2 - 6 = 0 ;
3 3 - 6·3 2 + 11·3 - 6 = 0 ;
6 3 - 6·6 2 + 11·6 - 6 = 60 .

Итак, мы нашли три корня:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Поскольку исходный многочлен - третьей степени, то он имеет не более трех корней. Поскольку мы нашли три корня, то они простые. Тогда
.

Ответ

Пример 3.2

Разложить многочлен на множители:
.

Решение

Предположим, что уравнение

имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:
-2, -1, 1, 2 .
Подставляем поочередно эти значения:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2·1 3 + 3·1 3 + 4·1 + 2 = 12 ;
2 4 + 2·2 3 + 3·2 3 + 4·2 + 2 = 54 .
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, -1, -2 .
Подставим x = -1 :
.

Итак, мы нашли еще один корень x 2 = -1 . Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен на , но мы сгруппируем члены:
.

Поскольку уравнение x 2 + 2 = 0 не имеет действительных корней, то разложение многочлена на множители имеет вид.