Если две прямые не параллельны, то они неукоснительно пересекутся в одной точке. Обнаружить координаты точки пересечения 2-х прямых дозволено как графическим, так и арифметическим методом, в зависимости от того, какие данные предоставляет задача.

Вам понадобится

• – две прямые на чертеже;
• – уравнения 2-х прямых.

Инструкция

1. Если прямые теснее начерчены на графике, обнаружьте решение графическим методом. Для этого продолжите обе либо одну из прямых так, дабы они пересеклись. После этого подметьте точку пересечения и опустите из нее перпендикуляр на ось абсцисс (как водится, ох).

2. При помощи шкалы делений, подмеченных на оси, обнаружьте значение х для этой точки. Если она находится на позитивном направлении оси (справа от нулевой отметки), то ее значение будет правильным, в отвратном случае – негативным.

3. Верно также обнаружьте ординату точки пересечения. Если проекция точки расположена выше нулевой отметки – она правильная, если ниже – негативная. Запишите координаты точки в виде (х, у) – это и есть решение задачи.

4. Если прямые заданы в виде формул у=kх+b, вы можете также решить задачу графическим методом: начертите прямые на координатной сетке и обнаружьте решение описанным выше методом.

5. Испробуйте обнаружить решение задачи, применяя данные формулы. Для этого составьте из этих уравнений систему и решите ее. Если уравнения даны в виде у=kх+b, примитивно приравняйте обе части с х и обнаружьте х. После этого подставьте значение х в одно из уравнений и обнаружьте у.

6. Дозволено обнаружить решение методом Крамера. В таком случае приведите уравнения к виду А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0. Согласно формуле Крамера х=-(С1В2-С2В1)/(А1В2-А2В1), а у=-(А1C2-А2С1)/(А1В2-А2В1). Обратите внимание, если знаменатель равен нулю, то прямые параллельны либо совпадают и, соответственно, не пересекаются.

7. Если вам даны прямые в пространстве в каноническом виде, перед тем, как начать поиск решения, проверьте, не параллельны ли прямые. Для этого оцените показатели перед t, если они пропорциональны, скажем, x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t и x=-1+6t, y=-1+4t, z=-5+2t, то прямые параллельны. Помимо того, прямые могут скрещиваться, в этом случае система не будет иметь решения.

8. Если вы узнали, что прямые пересекаются, обнаружьте точку их пересечения. Вначале приравняйте переменные из различных прямых, условно заменив t на u для первой прямой и на v для 2-й прямой. Скажем, если вам даны прямые x=t-1, y=2t+1, z=t+2 и x=t+1, y=t+1, z=2t+8 вы получите выражения типа u-1=v+1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.

9. Выразите из одного уравнения u, подставьте в другое и обнаружьте v (в данной задаче u=-2,v=-4). Сейчас, дабы обнаружить точку пересечения, подставьте полученные значения взамен t (без разницы, в первое либо второе уравнение) и получите координаты точки x=-3, y=-3, z=0.

Для рассмотрения 2-х пересекающихся прямых довольно рассмотрения их в плоскости, так как две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости. Зная уравнения этих прямых , дозволено обнаружить координату их точки пересечения .

Вам понадобится

• уравнения прямых

Инструкция

1. В декартовых координатах всеобщее уравнение прямой выглидит так: Ax+By+C = 0. Пускай две прямые пересекаются. Уравнение первой прямой имеет вид Ax+By+C = 0, 2-й прямой – Dx+Ey+F = 0. Все показатели (A, B, C, D, E, F) обязаны быть заданы.Дабы обнаружить точку пересечения этих прямых надобно решить систему этих 2-х линейных уравнений.

2. Для решения первое уравнение комфортно умножить на E, а второе – на B. В итоге уравнения будут иметь вид: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. Позже вычитания второго уравнения из первого, получится: (AE-DB)x = FB-CE. Отсель, x = (FB-CE)/(AE-DB).По аналогии первое уравнение начальной системы дозволено умножить на D, второе – на A, после этого вновь из первого вычесть второго. В итоге, y = (CD-FA)/(AE-DB).Полученные значения x и y и будут координатами точки пересечения прямых .

3. Уравнения прямых также могут записываться через угловой показатель k, равный тангенсу угла наклона прямой. В этом случае уравнение прямой имеет вид y = kx+b. Пускай сейчас уравнение первой прямой – y = k1*x+b1, а 2-й прямой – y = k2*x+b2.

4. Если приравнять правые части этих 2-х уравнений, то получится: k1*x+b1 = k2*x+b2. Отсель легко получить, что x = (b1-b2)/(k2-k1). Позже подстановки этого значения x в всякое из уравнений, получится: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). Значения x и y будут задавать координаты точки пересечения прямых .В случае, если две прямые параллельны либо сопадают, то они не имеют всеобщих точек либо имеют безмерно много всеобщих точек соответственно. В этих случаях k1 = k2, знаменатели для координат точек пересечения будут обращаться в нуль, следственно, система не будет иметь классического решения.Система может иметь только одно классическое решение, что безусловно, потому что две несовпадающие и не параллельные друг другу прямые могут иметь только одну точку пересечения .

Видео по теме

В двумерном пространстве две прямые пересекаются только в одной точке, задаваемой координатами (х,y). Так как обе прямые проходят через точку их пересечения, то координаты (х,y) должны удовлетворять обоим уравнениям, которые описывают эти прямые. Воспользовавшись некоторыми дополнительными навыками вы сможете находить точки пересечения парабол и других квадратичных кривых.

Шаги

Точка пересечения двух прямых

Запишите уравнение каждой прямой, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения. Возможно, данное вам уравнение вместо «у» будет содержать переменную f(x) или g(x); в этом случае обособьте такую переменную. Для обособления переменной выполните соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения.

• Если уравнения прямых вам не даны, на основе известной вам информации.
• Пример . Даны прямые, описываемые уравнениями и y − 12 = − 2 x {\displaystyle y-12=-2x} . Чтобы во втором уравнении обособить «у», прибавьте к обеим сторонам уравнения число 12:

1. Вы ищете точку пересечения обеих прямых, то есть точку, координаты (х,у) которой удовлетворяют обоим уравнениям. Так как на левой стороне каждого уравнения находится переменная «у», то выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения, можно приравнять. Запишите новое уравнение.

   • Пример . Так как y = x + 3 {\displaystyle y=x+3} и y = 12 − 2 x {\displaystyle y=12-2x} , то можно записать такое равенство: .

2. Найдите значение переменной «х». Новое уравнение содержит только одну переменную «х». Для нахождения «х» обособьте эту переменную на левой стороне уравнения, выполнив соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения. Вы должны получить уравнение вида х = __ (если вы не можете это сделать, этого раздела).

   • Пример . x + 3 = 12 − 2 x {\displaystyle x+3=12-2x}
   • Прибавьте 2 x {\displaystyle 2x} к каждой стороне уравнения:
   • 3 x + 3 = 12 {\displaystyle 3x+3=12}
   • Вычтите 3 из каждой стороны уравнения:
   • 3 x = 9 {\displaystyle 3x=9}
   • Разделите каждую сторону уравнения на 3:
   • x = 3 {\displaystyle x=3} .

3. Используйте найденное значение переменной «х» для вычисления значения переменной «у». Для этого подставьте найденное значение «х» в уравнение (любое) прямой.

   • Пример . x = 3 {\displaystyle x=3} и y = x + 3 {\displaystyle y=x+3}
   • y = 3 + 3 {\displaystyle y=3+3}
   • y = 6 {\displaystyle y=6}

4. Проверьте ответ. Для этого подставьте значение «х» в другое уравнение прямой и найдите значение «у». Если вы получите разные значение «у», проверьте правильность ваших вычислений.

   • Пример: x = 3 {\displaystyle x=3} и y = 12 − 2 x {\displaystyle y=12-2x}
   • y = 12 − 2 (3) {\displaystyle y=12-2(3)}
   • y = 12 − 6 {\displaystyle y=12-6}
   • y = 6 {\displaystyle y=6}
   • Вы получили такое же значение «у», поэтому в ваших вычислениях ошибок нет.

5. Запишите координаты (х,у). Вычислив значения «х» и «у», вы нашли координаты точки пересечения двух прямых. Запишите координаты точки пересечения в виде (х,у).

   • Пример . x = 3 {\displaystyle x=3} и y = 6 {\displaystyle y=6}
   • Таким образом, две прямые пересекаются в точке с координатами (3,6).

6. Вычисления в особых случаях. В некоторых случаях значение переменной «х» найти нельзя. Но это не значит, что вы допустили ошибку. Особый случай имеет место при выполнении одного из следующих условий:

   • Если две прямые параллельны, они не пересекаются. При этом переменная «х» просто сократится, а ваше уравнение превратится в бессмысленное равенство (например, 0 = 1 {\displaystyle 0=1} ). В этом случае в ответе запишите, что прямые не пересекаются или решения нет.
   • Если оба уравнения описывают одну прямую, то точек пересечения будет бесконечное множество. При этом переменная «х» просто сократится, а ваше уравнение превратится в строгое равенство (например, 3 = 3 {\displaystyle 3=3} ). В этом случае в ответе запишите, что две прямые совпадают.

   Задачи с квадратичными функциями

   1. Определение квадратичной функции. В квадратичной функции одна или несколько переменных имеют вторую степень (но не выше), например, x 2 {\displaystyle x^{2}} или y 2 {\displaystyle y^{2}} . Графиками квадратичных функций являются кривые, которые могут не пересекаться или пересекаться в одной или двух точках. В этом разделе мы расскажем вам, как найти точку или точки пересечения квадратичных кривых.

   2. Перепишите каждое уравнение, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения.

      • Пример . Найдите точку (точки) пересечения графиков x 2 + 2 x − y = − 1 {\displaystyle x^{2}+2x-y=-1} и
      • Обособьте переменную «у» на левой стороне уравнения:
      • и y = x + 7 {\displaystyle y=x+7} .
      • В этом примере вам дана одна квадратичная функция и одна линейная функция. Помните, что если вам даны две квадратичные функции, вычисления аналогичны шагам, изложенным далее.

   3. Приравняйте выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения. Так как на левой стороне каждого уравнения находится переменная «у», то выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения, можно приравнять.

      • Пример . y = x 2 + 2 x + 1 {\displaystyle y=x^{2}+2x+1} и y = x + 7 {\displaystyle y=x+7}

   4. Перенесите все члены полученного уравнения на его левую сторону, а на правой стороне запишите 0. Для этого выполните базовые математические операции. Это позволит вам решить полученное уравнение.

      • Пример . x 2 + 2 x + 1 = x + 7 {\displaystyle x^{2}+2x+1=x+7}
      • Вычтите «x» из обеих сторон уравнения:
      • x 2 + x + 1 = 7 {\displaystyle x^{2}+x+1=7}
      • Вычтите 7 из обеих сторон уравнения:

   5. Решите квадратное уравнение. Перенеся все члены уравнения на его левую сторону, вы получили квадратное уравнение. Его можно решить тремя способами: при помощи специальной формулы, и .

      • Пример . x 2 + x − 6 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-6=0}
      • При разложении уравнения на множители вы получите два двучлена, при перемножении которых получается исходное уравнение. В нашем примере первый член x 2 {\displaystyle x^{2}} можно разложить на х*х. Сделайте следующую запись: (x)(x) = 0
      • В нашем примере свободный член -6 можно разложить на следующие множители: − 6 ∗ 1 {\displaystyle -6*1} , − 3 ∗ 2 {\displaystyle -3*2} , − 2 ∗ 3 {\displaystyle -2*3} , − 1 ∗ 6 {\displaystyle -1*6} .
      • В нашем примере второй член – это х (или 1x). Сложите каждую пару множителей свободного члена (в нашем примере -6), пока не получите 1. В нашем примере подходящей парой множителей свободного члена являются числа -2 и 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 {\displaystyle -2*3=-6} ), так как − 2 + 3 = 1 {\displaystyle -2+3=1} .
      • Заполните пробелы найденной парой чисел: .

   6. Не забудьте про вторую точку пересечения двух графиков. Если вы решаете задачу быстро и не очень внимательно, вы можете забыть про вторую точку пересечения. Вот как найти координаты «х» двух точек пересечения:

      • Пример (разложение на множители) . Если в уравнении (x − 2) (x + 3) = 0 {\displaystyle (x-2)(x+3)=0} одно из выражений в скобках будет равно 0, то все уравнение будет равно 0. Поэтому можно записать так: x − 2 = 0 {\displaystyle x-2=0} → x = 2 {\displaystyle x=2} и x + 3 = 0 {\displaystyle x+3=0} → x = − 3 {\displaystyle x=-3} (то есть вы нашли два корня уравнения).
      • Пример (использование формулы или дополнение до полного квадрата) . При использовании одного из этих методов в процессе решения появится квадратный корень. Например, уравнение из нашего примера примет вид x = (− 1 + 25) / 2 {\displaystyle x=(-1+{\sqrt {25}})/2} . Помните, что при извлечении квадратного корня вы получите два решения. В нашем случае: 25 = 5 ∗ 5 {\displaystyle {\sqrt {25}}=5*5} , и 25 = (− 5) ∗ (− 5) {\displaystyle {\sqrt {25}}=(-5)*(-5)} . Поэтому запишите два уравнения и найдите два значения «х».

   7. Графики пересекаются в одной точке или вообще не пересекаются. Такие ситуации имеют место при соблюдении следующих условий:

      • Если графики пересекаются в одной точке, то квадратное уравнение раскладывается на одинаковые множители, например, (х-1) (х-1) = 0, а в формуле появляется квадратный корень из 0 ( 0 {\displaystyle {\sqrt {0}}} ). В этом случае уравнение имеет только одно решение.
      • Если графики вообще не пересекаются, то уравнение на множители не раскладывается, а в формуле появляется квадратный корень из отрицательного числа (например, − 2 {\displaystyle {\sqrt {-2}}} ). В этом случае в ответе напишите, что решения нет.

При решении некоторых геометрических задач методом координат приходится находить координаты точки пересечения прямых. Наиболее часто приходится искать координаты точки пересечения двух прямых на плоскости, однако иногда возникает необходимость в определении координат точки пересечения двух прямых в пространстве. В этой статье мы как раз разберемся с нахождением координат точки, в которой пересекаются две прямые.

Навигация по странице.

Точка пересечения двух прямых – определение.

Давайте для начала дадим определение точки пересечения двух прямых.

Таким образом, чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, определенных на плоскости общими уравнениями, нужно решить систему, составленную из уравнений заданных прямых.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите точку пересечения двух прямых, определенных в прямоугольной системе координат на плоскости уравнениями x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 .

Решение.

Нам даны два общих уравнения прямых, составим из них систему: . Решения полученной системы уравнений легко находятся, если разрешить ее первое уравнение относительно переменной x и подставить это выражение во второе уравнение:

Найденное решение системы уравнений дает нам искомые координаты точки пересечения двух прямых.

Ответ:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 .

Итак, нахождение координат точки пересечения двух прямых, определенных общими уравнениями на плоскости, сводится к решению системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными переменными. А как же быть, если прямые на плоскости заданы не общими уравнениями, а уравнениями другого вида (смотрите виды уравнения прямой на плоскости)? В этих случаях можно сначала привести уравнения прямых к общему виду , а уже после этого находить координаты точки пересечения.

Пример.

и .

Решение.

Перед нахождением координат точки пересечения заданных прямых приведем их уравнения к общему виду. Переход от параметрических уравнений прямой к общему уравнению этой прямой выглядит следующим образом:

Теперь проведем необходимые действия с каноническим уравнением прямой :

Таким образом, искомые координаты точки пересечения прямых являются решением системы уравнений вида . Используем для ее решения :

Ответ:

M 0 (-5, 1)

Существует еще один способ нахождения координат точки пересечения двух прямых на плоскости. Его удобно применять, когда одна из прямых задана параметрическими уравнениями вида , а другая – уравнением прямой иного вида. В этом случае в другое уравнение вместо переменных x и y можно подставить выражения и , откуда можно будет получить значение , которое соответствует точке пересечения заданных прямых. При этом точка пересечения прямых имеет координаты .

Найдем координаты точки пересечения прямых из предыдущего примера этим способом.

Пример.

Определите координаты точки пересечения прямых и .

Решение.

Подставим в уравнение прямой выражения :

Решив полученное уравнение, получаем . Это значение соответствует общей точке прямых и . Вычисляем координаты точки пересечения, подставив в параметрические уравнения прямой:
.

Ответ:

M 0 (-5, 1) .

Для полноты картины следует обговорить еще один момент.

Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых на плоскости полезно убедиться в том, что заданные прямые действительно пересекаются. Если выяснится, что исходные прямые совпадают или параллельны, то о нахождении координат точки пересечения таких прямых не может быть и речи.

Можно, конечно, обойтись и без такой проверки, а сразу составить систему уравнений вида и решить ее. Если система уравнений имеет единственное решение, то оно дает координаты точки, в которой исходные прямые пересекаются. Если система уравнений решений не имеет, то можно делать вывод о параллельности исходных прямых (так как не существует такой пары действительных чисел x и y , которая бы удовлетворяла одновременно обоим уравнениям заданных прямых). Из наличия бесконечного множества решений системы уравнений следует, что исходные прямые имеют бесконечно много общих точек, то есть, совпадают.

Рассмотрим примеры, подходящие под эти ситуации.

Пример.

Выясните, пересекаются ли прямые и , и если пересекаются, то найдите координаты точки пересечения.

Решение.

Заданным уравнениям прямых соответствуют уравнения и . Решим систему, составленную из этих уравнений .

Очевидно, что уравнения системы линейно выражаются друг через друга (второе уравнение системы получается из первого умножением обеих его частей на 4 ), следовательно, система уравнений имеет бесконечное множество решений. Таким образом, уравнения и определяют одну и ту же прямую, и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения этих прямых.

Ответ:

Уравнения и определяют в прямоугольной системе координат Oxy одну и ту же прямую, поэтому мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения.

Пример.

Найдите координаты точки пересечения прямых и , если это возможно.

Решение.

Условие задачи допускает, что прямые могут быть не пересекающимися. Составим систему из данных уравнений. Применим для ее решения , так как он позволяет установить совместность или несовместность системы уравнений, а в случае ее совместности найти решение:

Последнее уравнение системы после прямого хода метода Гаусса обратилось в неверное равенство, следовательно, система уравнений не имеет решений. Отсюда можно сделать вывод, что исходные прямые параллельны, и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения этих прямых.

Второй способ решения.

Давайте выясним, пересекаются ли заданные прямые.

- нормальный вектор прямой , а вектор является нормальным вектором прямой . Проверим выполнение и : равенство верно, так как , следовательно, нормальные векторы заданных прямых коллинеарны. Тогда, эти прямые параллельны или совпадают. Таким образом, мы не можем найти координаты точки пересечения исходных прямых.

Ответ:

Координаты точки пересечения заданных прямых найти невозможно, так как эти прямые параллельны.

Пример.

Найдите координаты точки пересечения прямых 2x-1=0 и , если они пересекаются.

Решение.

Составим систему из уравнений, которые являются общими уравнениями заданных прямых: . Определитель основной матрицы этой системы уравнений отличен от нуля , поэтому система уравнений имеет единственное решение, что свидетельствует о пересечении заданных прямых.

Для нахождения координат точки пересечения прямых нам нужно решить систему:

Полученное решение дает нам координаты точки пересечения прямых, то есть, 2x-1=0 и .

Ответ:

Нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.

Координаты точки пересечения двух прямых в трехмерном пространстве находятся аналогично.

Рассмотрим решения примеров.

Пример.

Найдите координаты точки пересечения двух прямых, заданных в пространстве уравнениями и .

Решение.

Составим систему уравнений из уравнений заданных прямых: . Решение этой системы даст нам искомые координаты точки пересечения прямых в пространстве. Найдем решение записанной системы уравнений.

Основная матрица системы имеет вид , а расширенная - .

Определим А и ранг матрицы T . Используем

Перпендикулярная прямая

Это задача наверное одна из самых популярных и востребованных в школьных учебниках. Задачи, основанные на эту тему многообразны. Это и определение точки пересечения двух прямых, это и определение уравнения прямой, проходящяя через точку на исходной прямой под каким либо углом.

Эту тему мы раскроем, используя в своих вычислениях данные полученные с помощью

Именно там было рассмотрено преобразование общего уравнения прямой, в уравнение с угловым коэффициентом и обратно, и определения остальных парметров прямой по заданным условиям.

Что же нам не хвататет для того, что бы решать те задачи, которым посвящена эта страница?

1. Формулы вычисления одного из углов между двумя пересекающимися прямыми.

Если мы имеем две прямые которые заданы уравнениями:

то один из углов вычисляется так:

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящяя через заданную точку

Из формулы 1, мы можем увидеть два пограничных состояния

а) когда тогда и следовательно эти две заданные прямые паралельны (или совпадают)

б) когда , тогда , и следовательно эти прямые перпендикулярны, то есть пересекаются под прямым углом.

Какие могут быть исходные данные для решения подобных задач, кроме заданной прямой?

Точка на прямой и угол под которым вторая прямая его пересекает

Второе уравнение прямой

Какие же задачи может позволить решить бот?

1. Заданы две прямые (явным или не явным образом например по двум точкам). Вычислить точку пересечения и углы по которыми они пересекаются.

2. Задана одна прямая, точка на прямой и один угол. Определить уравнение прямой, перескающую заданную под указанным углом

Примеры

Две прямые заданы уравнениями. Найти точку пересечения этих прямых и углы под которым они пересекаются

line_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Получаем следующий результат

Уравнение первой прямой

y = 2.2 x + (1.2)

Уравнение второй прямой

y = 0.4285714285714 x + (-5)

Угол пересечения двух прямых(в градусах)

-42.357454705937

Точка пересечения двух прямых

x = -3.5

y = -6.5

Не забудьте что параметры двух линий разделяются запятой, а параметры каждой линии точкой с запятой.

Прямая проходит через две точки (1:-4) и (5:2) . Найти уравнение прямой, которая проходит через точку (-2:-8) и пересекает исходную прямую под углом 30 градусов.

Одна прямая нам известна, так как известны две точки через которые она проходит.

Осталось определить уравнение второй прямой. Одна точка нам известна, а вместо второй указан угол, под которым первая прямая пересекает вторую.

Вроде все известно, но тут главное не ошибится. Речь идет об угле(30 градусов) не между осью абсцисс и линией, а между первой и второй линией.

Для этого мы постим так. Определим параметры первой линии, и узнаем под каким углом она пересекает ось абсцисс.

line xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Общее уравнение Ax+By+C = 0

Коэффициент А = -6

Коэффициент B = 4

Коэффициент C = 22

Коэффициент a= 3.6666666666667

Коэффициент b = -5.5

Коэффициент k = 1.5

Угол наклона к оси (в градусах) f = 56.309932474019

Коэффициент p = 3.0508510792386

Коэффициент q = 2.5535900500422

Расстояние между точками=7.211102550928

Видим что первая линия пересекает ось под углом 56.309932474019 градусов.

В искходных данных не сказано как именно пересекает вторая линия, первую. Можно ведь построить две линии удовлетворяющих условиям, первая повернутая на 30 градусов ПО часовой стрелке, а вторая на 30 градусов ПРОТИВ часовой стрелке.

Давайте их и посчитаем

Если вторая линия повернута на 30 градусов ПРОТИВ часовой стрелке, то вторая линия будет иметь градус пересечения с осью абсцисс 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 градусов

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Параметры прямой линии по заданным параметрам

Общее уравнение Ax+By+C = 0

Коэффициент А = 23.011106998916

Коэффициент B = -1.4840558255286

Коэффициент C = 34.149767393603

Уравнение прямой в отрезках x/a+y/b = 1

Коэффициент a= -1.4840558255286

Коэффициент b = 23.011106998916

Уравнение прямой c угловым коэфициентом y = kx + b

Коэффициент k = 15.505553499458

Угол наклона к оси (в градусах) f = 86.309932474019

Нормальное уравнение прямой x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

Коэффициент p = -1.4809790664999

Коэффициент q = 3.0771888256405

Расстояние между точками=23.058912962428

Расстояние от точки до прямой li =

то есть наше уравнение второй линии есть y=15.505553499458x + 23.011106998916

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямых на плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямых задайте вид уравнения прямых ("канонический", "параметрический" или "общий"), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Точка пересечения прямых на плоскости − теория, примеры и решения

1. Точка пересечения прямых, заданных в общем виде.

Oxy L 1 и L 2:

Построим расширенную матрицу:

Если B" 2 =0 и С" 2 =0, то система линейных уравнений имеет множество решений. Следовательно прямые L 1 и L 2 совпадают. Если B" 2 =0 и С" 2 ≠0, то система несовместна и, следовательно прямые параллельны и не имеют общей точки. Если же B" 2 ≠0, то система линейных уравнений имеет единственное решение. Из второго уравнения находим y : y =С" 2 /B" 2 и подставляя полученное значение в первое уравнение находим x : x =−С 1 −B 1 y . Получили точку пересечения прямых L 1 и L 2: M (x, y ).

2. Точка пересечения прямых, заданных в каноническом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L 1 и L 2:

Откроем скобки и сделаем преобразования:

Аналогичным методом получим общее уравнение прямой (7):

Из уравнений (12) следует:

Как найти точку пересечения прямых, заданных в каноническом виде описано выше.

4. Точка пересечения прямых, заданных в разных видах.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L 1 и L 2:

Найдем t :

A 1 x 2 +A 1 m t +B 1 y 2 +B 1 p t +C 1 =0,

Решим систему линейных уравнений отностительно x, y . Для этого воспользуемся методом Гаусса . Получим:

Пример 2. Найти точку пересечения прямых L 1 и L 2:

L 1: 2x +3y +4=0,

(20)

(21)

Для нахождения точки пересечения прямых L 1 и L 2 нужно решить систему линейных уравнений (20) и (21). Представим уравнения в матричном виде.